シャープレイ値

シャープレイ値は，全員が協働するとしたときに，総報酬をプレイヤーに分配する方法の一つである。 この分配は，以下に示す条件を満足する唯一の分配案であるという意味で「公正な」分配である。 プレイヤー ${\displaystyle i}$ は上記の定義に基づく特性関数 ${\displaystyle v}$ のもとで、

${\displaystyle \phi _{i}(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\frac {|S|!\;(n-|S|-1)!}{n!}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}$

という配分を得る。 ここで、${\displaystyle n}$ はプレイヤーの総数であり、 足し合わせの範囲は ${\displaystyle N}$ の部分集合 ${\displaystyle S}$ のうち プレイヤー ${\displaystyle i}$ を含まないものすべてである。 本式は、プレイヤーがひとりずつ提携に加わり、その寄与分 ${\displaystyle v(S\cup \{i\})-v(S)}$ を公正な報酬として要求するときの プレイヤー ${\displaystyle i}$ の取り分を、 提携に参加する順序を変えたすべての順列について考え、平均したものである。

シャープレイベクトル (Shapley vector) は全プレーヤーのシャープレイ値を要素とするベクトルであり、

${\displaystyle \phi (v)=(\phi _{1}(v),\phi _{2}(v),...,\phi _{n}(v))}$

と表される。

グローブゲーム(glove game)は、プレイヤーが左手用または右手用のグローブを持っていて、左手用と右手用のグローブのペアを作ろうとする提携ゲームである。 ここでは例としてプレイヤーを3人としてその集合${\displaystyle N}$を次のように定める。

${\displaystyle N=\{1,2,3\}\,\!}$

ここでプレイヤー1とプレイヤー2が右手のグローブを、プレイヤー3が左手のグローブを持っているとする。この提携ゲームの特性関数は以下のように書ける。

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}1,&{\text{if }}S\in \left\{\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\right\}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$

ここで、シャープレイ値は以下のように計算できる。

${\displaystyle \phi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right]\,\!}$

${\displaystyle R\,\!}$とはプレイヤーの配列である。${\displaystyle P_{i}^{R}\,\!}$ は、配列${\displaystyle R\,\!}$でプレイヤー${\displaystyle i\,\!}$の前に並んでいる${\displaystyle N\,\!}$のプレイヤーの集合である。

ここで、下表にプレイヤー1が配列に参加することによる寄与分を示す。

配列 ${\displaystyle R\,\!}$	プレイヤー1の寄与分
${\displaystyle {1,2,3}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\,\!}$
${\displaystyle {1,3,2}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\,\!}$
${\displaystyle {2,1,3}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,2\})-v(\{2\})=0-0=0\,\!}$
${\displaystyle {2,3,1}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\,\!}$
${\displaystyle {3,1,2}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,3\})-v(\{3\})=1-0=1\,\!}$
${\displaystyle {3,2,1}\,\!}$	${\displaystyle v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\,\!}$

よって、

${\displaystyle \phi _{1}(v)={\frac {1}{3!}}\cdot 1={\frac {1}{6}}\,\!}$

が得られる。対称性の議論によって、プレイヤー2はプレイヤー1と対称なプレイヤー(同様の寄与をもたらすプレイヤー)であるから、

${\displaystyle \phi _{2}(v)=\phi _{1}(v)={\frac {1}{6}}\,\!}$

である。シャープレイ値は全体合理性を満たし、全てのプレイヤーのシャープレイ値の総和は1になるので、

${\displaystyle \phi _{3}(v)=1-\phi _{1}(v)-\phi _{2}(v)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}\,}$

が得られる。