ジャック–ベラ検定

検定統計量 JB は以下のように定義される。

${\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left[S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right]}$

ここで、n は標本サイズ、S は標本歪度、K は標本尖度である。S 及び K は次式で表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right]^{3/2}}},\\K&={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right]^{2}}}.\end{aligned}}}$

ここで、${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}}$ と ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}}$ はそれぞれ三次及び四次中心モーメントの推計値、${\displaystyle {\bar {x}}}$ は標本平均、${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ は二次中心モーメントの推計値（すなわち分散）である。

標本データが正規分布から得られたとすれば、統計量 JB は漸近的に自由度 2 のカイ二乗分布に従う。そのため、統計量 JB は標本データが正規分布由来であるという仮説を検定するのに利用できる。帰無仮説は歪度がゼロであるという仮説と過剰尖度がゼロであるという仮説の結合仮説である。正規分布由来の標本は歪度の期待値が 0 及び過剰尖度の期待値が 0（尖度 3 と等しい）である。統計量 JB の定義が示す通り、歪度と尖度が 0 から逸脱すると JB の値は増加する。

小標本の場合、カイ二乗近似は過剰に敏感に働く。すなわち、実際には帰無仮説が正しくても、検定によって帰無仮説がしばしば棄却される。その上、p値の分布は単一分布から逸脱し右にひずんだ単峰の分布となる。特にp値が小さい場合は分布のひずみの影響が大きくなる。こうして、第一種の過誤率αが上昇する。下表にカイ二乗分布から近似したp値を示す。小標本の場合p値が真のαと異なるとわかる。

真のα値と標本サイズを変化させたときの近似p値との対応

真のα値	標本サイズ
	20	30	50	70	100
0.1	0.307	0.252	0.201	0.183	0.1560
0.05	0.1461	0.109	0.079	0.067	0.062
0.025	0.051	0.0303	0.020	0.016	0.0168
0.01	0.0064	0.0033	0.0015	0.0012	0.002

（これらの値はMATLABのモンテカルロシミュレーションから近似された値である。）

MATLABでは、標本サイズが大きい（2000以上）ときのみJB統計量分布をカイ二乗で近似する。標本サイズが2000未満の場合MATLABはp値を補間するためにモンテカルロシミュレーションから得られた表を用いる。

Bowman and Shenton は1975年に発表した論文で、統計量JBがカイ二乗分布に漸近すると言及した(Bowman & Shenton 1975) 。しかし彼らは「カイ二乗近似が成立するためには大きな標本サイズが必要なことは疑いない。」（p.243）とも言及している。彼らはD'AgostinoのK二乗検定を支持し、JBの性質についてそれ以上の研究をしなかった。

1979年ごろ回帰分析に関する博士論文の研究をしていたAnil BeraとCarlos Jarqueは観察されていない回帰残差の正規性を検定するためにラグランジュの未定乗数法をピアソン族の分布に適用した。その結果、ジャック-ベラ検定が漸近的に最適であることを彼らは発見した。（漸近に達するには非常に大きな標本サイズを要するのだが。）1980年に彼らは論文を発表した(Jarque & Bera 1980)。その論文では、正規性、等分散性および線形回帰モデルに由来する残差に自己相関がないことを連続的に検定するためのより発展的な事例を取り扱った。ジャック-ベラ検定はその論文内でより単純な事例として言及されたものである。ジャック-ベラ検定に関する完全な論文は1987年にInternational Statistical Reviewで発表された。その論文では観察値の正規性の検定と観察されていない回帰残差の正規性の検定の両方を取扱い、有限標本の有意点を与えた。

• ALGLIBではC++, C#, Delphi, Visual Basic等のプログラミング言語で実行可能なソースコードが公開されている。
• Rでは、tseriesパッケージ内のjarque.bera.test関数や momentsパッケージ内のjarque.testで実行できる。
• MATLABでは、"jbtest"関数で実行できる。
• gretl
• IGOR pro

以下の検定手法はいずれもジャック-ベラの検定と同様に正規性の検定に用いられる。

• コルモゴロフ-スミルノフ検定
• リリフォース検定
• シャピロ-ウィルク検定
• アンダーソン-ダーリング検定

統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡変数 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数・ケンドールの順位相関係数）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定 カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
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