一般化線形モデル

既知の値 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ を用いて ${\displaystyle a(\theta )=\theta ^{2}/2}$, ${\displaystyle \phi =\sigma ^{2}}$, ${\displaystyle c(y,\,\phi )=-\left(y^{2}/\sigma ^{2}+\log {2\pi \sigma ^{2}}\right)/2}$ と表されるとき、${\displaystyle f(y;\theta )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left(-{\frac {(y-\theta )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}}$ は平均 ${\displaystyle \theta }$, 分散 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ の正規分布に相当する。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ (正準リンク<canonical link>とよぶ) を取るとき、これは、正規線型モデル (通常の線型回帰) に相当する。平均 ${\displaystyle \theta }$ は ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }}}$ で与えられる。

${\displaystyle p=e^{\theta }/(1+e^{\theta })}$ を用いて ${\displaystyle a(\theta )=-\log {(1-p)}}$, ${\displaystyle \phi =1}$, ${\displaystyle c=0}$ と表されるとき、${\displaystyle f(y;\theta )=p^{y}(1-p)^{1-y}}$ は生起確率 ${\displaystyle p}$ のベルヌーイ分布に相当する。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\theta }$ を取るとき、これはロジスティック回帰モデル (logistic regression model) に相当する。${\displaystyle Y=1,0}$ の確率は、それぞれ、

で与えられる。

リンク関数として ${\displaystyle g(\theta )=\psi ^{-1}(p)}$ (ただし、${\displaystyle \psi }$ は標準正規分布の累積分布関数) を取るとき、これはプロビット回帰モデルに相当する。${\displaystyle p=\psi (\mathbf {x} ^{T}\,{\boldsymbol {\beta }})}$となる。

パラメーターの決定には、ニュートン法を用いた最尤法などがある。