セグレの多重複素数

多重複素数環 ℂ_n は、初期値 ℂ₀ ≔ ℝ から再帰的に構成することができる。

n ≥ 1 のとき、ℂ_n−1 がすでに得られているものとして、新たな虚数単位i_n ∉ ℂ_n−1 を i2
n = −1 および他の虚数単位 i₁, …, i_n−1 と可換なるものとして導入し、

$${\displaystyle \mathbb {C} _{n}:=\{x+yi_{n}\mid (x,y)\in \mathbb {C} _{n-1}^{2}\}}$$

と置く。

n ≥ 1 に対し、 1 および i_n は ℂ_n−1 の任意の数と可換、また span(1, i_n) ∉ ℂ_n−1（特に i_n ∉ ℂ_n−1）とする。

関係式 ℂ_n = {x + yi_n  |  (x, y) ∈ ℂ_n−1²} は代数のテンソル積を用いて ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ span(1, i_n) と書き直せる。さらに言えば、条件 i2
n = −1 から span(1, i_n) ≅ ℂ であり、ℂ_n ≔ ℂ_n−1 ⊗_ℝ ℂ と書いてもよい。ℝ はテンソル積 ⊗_ℝ の単位元であって、空積を対応付けることができる。まとめると

$${\displaystyle \mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ factors}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \qquad (\forall n\in \mathbb {N} ).}$$

• n ≥ 1 に対し、ℂ₀, …, ℂ_n−1 は何れも ℂ_n の部分環である。
• k ≤ n に対し、ℂ_n は ℂ_k 上 2^n−k-次元である。
• n ≥ 1 に対し、各虚数単位 i_k は i2
  k = −1 を満足するから、ℂ_n は複素数平面の n 個のコピーを含む。
• n ≥ 2 および a ≠ b に対し、数 j_a,b ≔ i_a⋅i_b = i_b⋅i_a は j_a,b² = 1 を満たすから、ℂ_n は n(n−1)/2 個の分解型複素数平面を含む。

• （イタリア語） Segre, Corrado (1892), “The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities”, Mathematische Annalen 40
• （英語） Price, G. Baley (1991), An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, New York: Marcel Dekker

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