分解型八元数

八元数全体および分解型八元数全体は、四元数の対の間に乗法を定義することにより、ケーリー＝ディクソン構成から得られる。新しい虚数単位 ℓ を導入して、四元数の対 (a, b) を a + ℓb の形に書けば、その積は

${\displaystyle (a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})\quad (\lambda$ :=\ell ^{2})}

なる規則から定められる[1]。ここで λ = −1 と選べば通常の八元数である。その代わりに、λ = +1 として分解型八元数が得られる。

あるいは、分解型四元数をケイリー–ディクソン構成で二重化しても分解型八元数を得ることができる（この場合、λ は ±1 の何れの値を選んでも分解型になる）。

分解型八元数の基底を集合 {1, i, j, k, ℓ, ℓi ℓj, ℓk} とする。任意の分解型八元数 x はこれら基底元の実係数 x_a を持つ線型結合として

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k+x_{4}\ell +x_{5}\ell i+x_{6}\ell j+x_{7}\ell k}$

と書かれる。

線型性により、分解型八元数の乗法は、基底元の間に成り立つ以下の乗積表によって完全に決定される：

基底の乗積表

		右因子
		${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$
左因子	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$
	${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle \ell j}$
	${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle -\ell i}$
	${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell }$
	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle -\ell }$	${\displaystyle -\ell k}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$
	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell j}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle -\ell }$	${\displaystyle -\ell i}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$
	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle \ell k}$	${\displaystyle -\ell j}$	${\displaystyle \ell i}$	${\displaystyle -\ell }$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle 1}$

八元数の積の記憶術

分解型八元数の基底元の乗法表を表す簡便な記憶術が右図である。これは（基底元の記号を少し改めて書けば）以下のような計算規則（同値なものが480通りある）：

スカラーである基底元を e₀ として ${\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}\ (i,j,k=1,\cdots ,7)}$ および ${\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\quad e_{0}e_{0}=e_{0}}$

から導かれる。ここで、δ_ij はクロネッカーのデルタ、ε_ijk はエディントンのイプシロン（これが +1 の値を取るのは

(i, j, k) = (1, 2, 3), (1, 5, 4), (1, 7, 6), (2, 6, 4), (2, 5, 7), (3, 7, 4), (3, 6, 5)

のとき）である。

図の赤矢印は、矢印の向き（掛ける順番）を逆転することで符号が逆になることを指し示すものである（上記、分解型八元数の基底同士の乗積表において、右下四分の一の部分を確認せよ）。

分解型八元数 x の共軛元は

$${\displaystyle {\bar {x}}=x_{0}-x_{1}i-x_{2}j-x_{3}k-x_{4}\ell -x_{5}\ell i-x_{6}\ell j-x_{7}\ell k}$$

で与えられる（これは八元数の場合と同じ）。 x のノルム（計量二次形式）は

$${\displaystyle N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2})}$$

で与えられる。非零八元数 x で N(x) = 0 となるもの（等方元）が存在するから、このノルム N(x) は等方二次形式である。ノルム N を考えることで、分解型八元数の全体は ℝ 上八次元の擬ユークリッド空間となる（これをしばしばノルムの符号数を明示して ℝ^4,4 と書く）。 N(x) ≠ 0 ならば x は（両側）逆元 x⁻¹ を持ち、

$${\displaystyle x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}}$$

で与えられる。