テンソル分解

CP分解はテンソルをベクトルのクロネッカー積の和で表現する方法である。

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{R}\lambda _{i}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{m},}$$

ここで${\displaystyle {\mathcal {A}}\in \mathbb {R} ^{N_{1}\times N_{2}\times \cdots \times N_{m}}}$はm階のテンソル、${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{N_{i}}}$は${\displaystyle N_{i}}$次元のベクトルである。${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {R} }$は各項の重みを表す係数であり、Rはテンソルのランク[注釈 1]と呼ばれる量である。

タッカー分解はm階のテンソルをテンソルとベクトルのテンソル積の和で表現する方法である。

$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j_{1}=1}^{N_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{N_{2}}\cdots \sum _{j_{m}=1}^{N_{d}}s_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{m}}\mathbf {u} _{j_{1}}^{1}\otimes \mathbf {u} _{j_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {u} _{j_{m}}^{m},}$$

但し、${\displaystyle \mathbf {u} ^{i}\in \mathbb {R} ^{N_{i}\times N_{i}}}$は直交行列である。

テンソルトレイン分解[1]はテンソルを三階のテンソルのテンソル積の和で表現する方法[注釈 2]である。

$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}=\sum _{i_{1}=1}^{R_{1}}\sum _{i_{2}=2}^{R_{1}}\cdots \sum _{i_{m-1}=1}^{R_{m-1}}U_{i_{1}j_{1}}U_{i_{1}i_{2}j_{2}}\cdots U_{i_{m-2}i_{m-1}j_{m-1}}U_{i_{m-1}j_{m}}}$$

ここで${\displaystyle U_{i_{1}j_{1}}\in \mathbb {R} ^{R_{1}\times N_{1}},U_{i_{m-1}j_{m}}\in \mathbb {R} ^{R_{m-1}\times N_{m}},U_{i_{k-1}i_{k}j_{k}}\in \mathbb {R} ^{R_{k-1}\times R_{k}\times N_{k}}}$である。

• 石黒, 勝彦; 林, 浩平. 関係データ学習. 講談社. ISBN 978-4-06-152921-2
• Kolda, Tamara; Bader, Brett (2009), “Tensor Decompositions and Applications”, SIAM REVIEW 51 (3): 455-500, doi:10.1137/07070111X

テンソル
Glossary of tensor theory
範囲 (Scope)	数学 座標 多重線型代数 ユークリッド幾何学 テンソル代数 微分幾何学 外微分 テンソル解析 物理学 • 工学 連続体力学 電磁気学 移動現象論 一般相対性理論 コンピュータビジョン
表記法 (Notation)	添字表記法 多重指数 アインシュタインの縮約記法 リッチ計算法 ペンローズのグラフ記法 フォークト表記 抽象添字記法 テトラド表記 ファン・デル・ヴェルデン表示
テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度 曲線座標系におけるテンソル 混テンソル 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素 テンソル束
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分 リー微分
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
有名なテンソル	数学 クロネッカーのデルタ エディントンのイプシロン 計量テンソル クリストッフェル記号 リッチテンソル リーマン曲率テンソル ワイルテンソル 捩率テンソル 物理学 慣性モーメント 角運動量 応力テンソル エネルギー・運動量テンソル 電磁場テンソル グルーオン場の強度テンソル アインシュタインテンソル 計量テンソル (一般相対論)
数学者	レオンハルト・オイラー カール・フリードリヒ・ガウス オーギュスタン＝ルイ・コーシー ヘルマン・グラスマン グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ Jan Arnoldus Schouten ベルンハルト・リーマン エルヴィン・クリストッフェル ヴォルデマール・フォークト エリ・カルタン ヘルマン・ワイル アルベルト・アインシュタイン
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