計量テンソル

2次元のユークリッド計量（平らな空間、直交直線座標系）では、その全域において、計量テンソルがクロネッカーデルタまたは単位行列となる。すなわち

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}$

で与えられ、曲線の長さは良く知られた

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\ }$

で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る[1]。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標（Polar coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}}$

円筒座標（Cylindrical coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+(dz)^{2}}$

球座標（Spherical coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}}$

• 平らな ミンコフスキー空間（Minkowski space）

${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$

• シュワルツシルト計量

　•ポアンカレ円板

${\displaystyle ds^{2}=(4/(1-(x^{2}+y^{2}))^{2})(dx^{2}+dy^{2})}$