リーマンゼータ関数の特殊値

1644年、イタリアのピエトロ・メンゴリによって以下の問題が提起された。この問題は、解決に挑んだ数学者の多くがバーゼルの生まれであったことから、バーゼル問題と呼ばれる。

レオンハルト・オイラー

バーゼル問題は、スイスのレオンハルト・オイラーによって初めて解決された。オイラーは、三角関数のテイラー級数およびその無限乗積の x² の項の展開係数を比較することで、

${\displaystyle -{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$

となることから、

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

が成り立つことを示した。さらにオイラーの研究はバーゼル問題にとどまることはなく、より一般の場合の研究に努め、任意の自然数 n に対して、

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}$

が成り立つことも示した[2][3]。ただし、ここで B_2n は 2n 番目のベルヌーイ数である。

この公式により、正の偶数に対する特殊値を容易く計算することができる。しかるに n = 1 から小さい順に n = 10 まで計算してみると、

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}}$

${\displaystyle \zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}}$

${\displaystyle \zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}}$

${\displaystyle \zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}}$

${\displaystyle \zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}}$

${\displaystyle \zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}}$

${\displaystyle \zeta (16)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{16}}}={\frac {3617\pi ^{10}}{325641566250}}}$

${\displaystyle \zeta (18)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{18}}}={\frac {43867\pi ^{10}}{38979295480125}}}$

${\displaystyle \zeta (20)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{20}}}={\frac {173611\pi ^{10}}{1531329465290625}}}$

となる。またその近似値は、以下の表に示す通りである。

この表からもわかるように、ゼータ関数は s → ∞ の極限で ζ (s) → 1 である。すなわち、

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }\zeta (s)=1}$

である。また、自然数 n に対して、

${\displaystyle a_{n}\,\zeta (2n)=\pi ^{2n}\,b_{n}}$

を満たすように a_n と b_n を定める。ただし、ここで a_n と b_n は任意の自然数 n に対して常に自然数をとるものとする。すると、このとき a_n と b_n の n = 1 から n = 20 までの挙動は以下の表に示す通りである。

さらに c_n = b_n/a_n と定めると、偶数に対する特殊値はより簡単に、

${\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=c_{n}\,\pi ^{2n}}$

とかくことができる。するとこのとき、

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k-1}\,c_{n-k}}{(2k+1)!}}+{\frac {(-1)^{n+1}\,n}{(2n+1)!}}}$

なる漸化式が存在することがわかる。この漸化式は、ベルヌーイ数を効率的に求める漸化式に基づいている。また、特殊値の係数ではなく、ゼータ関数についての漸化式も存在する。余接関数の微分：

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\cot z=-1-\cot ^{2}z}$

およびその部分分数分解による表現：

${\displaystyle \cot z={\frac {1}{z}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)\,z^{2n-1}}{\pi ^{2n}}}}$

を用いれば、

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\,\zeta (2n-2k)}$

が容易に導かれる[4]。ただし、ここで n > 1 である。

ゼータ関数は Re s > 1 なる複素数 s に対して定義される関数であるが、その定義式に s = 1 を代入すると、

${\displaystyle \zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$

となって調和級数に一致する。調和級数は、古くにおいては収束すると考えられていたが、今日においては発散することが知られている。しかしこれはコーシーの主値は存在し、

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }$

である。ただし、ここで γ はオイラーの定数である[5]。

また、正の偶数に対する特殊値はベルヌーイ数を用いる形で一般化されたが、正の奇数に対する特殊値は簡潔な形で表すことができないことが知られている。例えば、ゼータ関数に s = 3 を代入した実数 ζ (3) はアペリーの定数として知られ、様々な積分表示や級数表示が発見されているものの、簡単な形で表すことができない。また ζ (3) は無理数であることがわかっている。この主張をアペリーの定理という。また、正の偶数に対する特殊値が常に無理数となることはその一般化された公式を見れば一目瞭然である一方、正の奇数に対する特殊値がすべて無理数であるかどうかは現在もまだわかっていないが、すべて無理数ではないかと予想されている[6]。以下の表にその近似値を示す。

アペリーの定数をはじめとした正の奇数に対する特殊値には様々な積分表示や級数表示が与えられており、それらを計算する場合はゼータ関数の定義式を利用するのではなく、別の収束速度の速い公式を利用することが多い。

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}{\Biggl [}{\frac {3}{2}}-\log \pi +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n-1}\,n\,(2n+1)(2n+2)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}{\Biggl [}1-4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n}\,(2n+1)(2n+2)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }-1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\,(n!)^{2}}{n^{3}\,(2n)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n!)^{4}\,(30n-11)}{n^{3}\,[(2n)!]^{2}\,(2n-1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\,(n!)^{10}\,(205n^{2}-160n+32)}{n^{5}\,[(2n)!]^{5}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh n\pi }}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}\log 2}{7}}+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,{\rm {d}}x}$

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {\log xy}{1-xy}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}$

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z}{1-xyz}}}$

${\displaystyle \zeta (3)=\operatorname {Re} \int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z}{f(f(f(x)\,y)\,z)}}\quad {\rm {where}}\,f(x)={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}\,x}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {\pi ^{5}}{294}}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\sinh n\pi }}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }-1)}}+{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2n\pi }+1)}}}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {2\pi ^{4}}{3\,(2^{5}-1)}}{\Biggl [}\log 2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n+5)\,\zeta (2n)}{2^{2n}\,(n+2)(2n+3)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {2\pi ^{4}}{31}}{\Biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{2^{2n}(n+2)(2n+1)}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (3)}{2^{2n}\,(n+1)(2n+3)}}{\Biggr ]}}$

${\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{24}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{4}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}$

正の奇数 n に対して、

${\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}\,(e^{2n\pi }\pm 1)}}}$

なる級数を定めるとき、ζ (3) や ζ (5) で見られたような一連の級数は次の形で定式化される。

${\displaystyle A_{n}\,\zeta (n)-B_{n}\,\pi ^{n}+C_{n}\,S_{-}(n)+D_{n}\,S_{+}(n)=0}$

ただし、ここで A_n 、B_n 、C_n および D_n は、任意の正の奇数 n に対して常に自然数をとるものとする。ここでの B_n はベルヌーイ数とは異なる。すると、このとき A_n 、B_n 、C_n および D_n の n = 3 から n = 19 までの挙動は以下の表に示す通りである。

これらの整数はベルヌーイ数の和として表現することができる。任意の整数引数に対するゼータ関数の高速計算アルゴリズムは、アナトリー・カラツバによって与えられている[7][8][9]。

1. リーマンゼータ関数の一般化として多重ゼータ値（英: Multiple zeta value; MZV）と呼ばれる実数が定義されているが、多重ゼータ値に関する論文においては、「リーマンゼータ関数の特殊値」ではなく「リーマンゼータ値」と呼ばれることが多い。

1. Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (2020-11-01). “Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines” (英語). Computational Methods and Function Theory 20 (3): 389–401. doi:10.1007/s40315-020-00316-x. ISSN 2195-3724. "Theorem 2 implies that ζ has an essential singularity at infinity"
2. Devlin, Keith (2002) (英語). The Millennium Problems: The seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time. New York: Barnes & Noble. pp. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8
3. Apostol, Tom M. (1997) (英語). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer Science & Business Media. pp. 265-266. doi:10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4419-2805-4. ISSN 0172-6056
4. Remmert, Reinhold (1984) (ドイツ語). Funktionentheorie I. 5. Heidelberg: Springer Berlin. pp. 233-235. doi:10.1007/978-3-642-96793-1. ISBN 978-3-642-96793-1. ISSN 1431-4215
5. Sondow, Jonathan (1998). “An antisymmetric formula for Euler's constant” (英語). Mathematics Magazine 71 (3): 219–220. doi:10.1080/0025570X.1998.11996638. オリジナルの2011-06-04時点におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20110604123534/http://home.earthlink.net/~jsondow/id8.html 2006年5月29日閲覧。.
6. Rivoal, T. (2000). “La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs” (フランス語). Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I 331 (4): 267–270. arXiv:math/0008051. Bibcode: 2000CRASM.331..267R. doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4.
7. Karatsuba, Ekatherina A. (1995). “Fast calculation of the Riemann zeta function ζ(s) for integer values of the argument s” (英語). Problemy Peredachi Informatsii 31 (4): 69–80. MR1367927. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ppi&paperid=294&option_lang=eng.
8. Karatsuba, Ekatherina A. (1996). “Fast computation of the Riemann zeta function for integer argument” (英語). Doklady Mathematics 54 (1): 626.
9. Karatsuba, Ekatherina A. (1993). “Fast evaluation of ζ(3)” (英語). Problemy Peredachi Informatsii 29 (1): 58–62.
10. Tenenbaum, Gérald (1990) (英語). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. 163. Rhode Island: American Mathematical Society. p. 234. ISBN 978-0-8218-9854-3. ISSN 0950-6330
11. Polchinski, Joseph (1998) (英語). An Introduction to the Bosonic String. String Theory. 1. Cambridge University Press. p. 22. ISBN 978-0-521-63303-1