指数型分布族

指数型分布族（しすうがたぶんぷぞく）は、以下のように定義される、特定の形式の確率分布。有用な代数的特性を持つ。

指数型分布族の概念は、1935 – 1936年に[1]、EJG Pitman[2]、G. Darmois[3] 、BO Koopman[4]らによって与えられた。

定義

指数型分布族に属する確率分布の例

指数型分布族には、最も一般的な分布の多くが含まれる。その一部を例示する。

多くの一般的な分布が指数型分布族に属するが、それは特定のパラメーターが既知定数である場合に限られる。例えば：

二項分布: 試行回数は固定
多項分布: 試行回数は固定
負の二項分布: 失敗回数は固定

いずれの場合も、固定する必要のあるパラメーターが観測値のサイズを制限している。

一般的な分布のうち、指数型分布族ではないものとして、スチューデントの t 分布、ほとんどの混合分布、範囲が固定されていない場合の均一分布が挙げられる。

スカラーパラメータ

単一の実数パラメータに基づく指数型分布族では、確率密度関数（離散分布の場合は確率質量関数）が次の形式で表現できる。

f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )\right]}

ここで、 $T(x)$ 、 $h(x)$ 、 $\eta (\theta )$ 、 $A(\theta )$ はいずれも既知の関数である。

しばしば次のように同等の形式で記述される。

f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\,g(\theta )\,\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)\right]}

次のように記述しても同等である。

f_{X}(x\mid \theta )=\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x)\right]}

$\theta$ は指数型分布族のパラメータと呼ばれる。

$\eta (\theta )=\theta$ の場合、指数型分布族は正準型（canonical form）であるという。変換後のパラメータ $\eta =\eta (\theta )$ をパラメータとして用いることにより、指数型分布族を正準型に変換することができる。

指数型分布族が正準型であるときのパラメータを自然パラメータ（natural parameter）と呼ぶ。

ベクトルパラメータ

単一の実数パラメータに基づく指数型分布族を、複数の実数パラメータ（下記ベクトル）に基づく指数型分布族に拡張できる。

{\boldsymbol {\theta }}=\left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{s}\right)^{\intercal }.

確率密度関数（または離散分布の場合は確率質量関数）が次のように記述できる場合、ベクトル指数型分布族に属している。

f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\exp {\left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})\cdot T_{i}(x)-A({\boldsymbol {\theta }})\right)}

またはもっとコンパクトな形で

f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }{\boldsymbol {T}}(x)-A({\boldsymbol {\theta }}){\Big )}}

下記のように記載されることも多い。

f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,g({\boldsymbol {\theta }})\exp {\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }{\boldsymbol {T}}(x){\Big )}

スカラー値の場合と同様に、ベクトル指数型分布族は次の場合に正準型と呼ばれる。

\forall i:\quad \eta _{i}(\theta _{i})=\theta _{i}.

ベクトルパラメータ、ベクトル変数

単一の確率変数に対する指数型分布族は、複数の確率変数に対する指数型分布族に拡張できる。

複数の確率変数を次のように記述すると、

\mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k}\right).

指数型分布族の確率分布は次のように記述される。

f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\exp \left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})\cdot T_{i}(\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }})\right)

またはもっとコンパクトな形で

f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\exp {\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }{\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }}){\Big )}

次のように記述されることも多い。

f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\,g({\boldsymbol {\theta }})\,\exp {\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }{\boldsymbol {T}}({\boldsymbol {x}}){\Big )}

性質

指数型分布族には、統計分析に非常に役立つ多数の性質がある。多くの場合、これらの特性を持つのは指数型分布族のみである。例：

共役事前分布を持つ

例

正規分布、指数分布、対数正規分布、ガンマ分布、カイ二乗分布、ベータ分布、ディリクレ分布、ベルヌーイ分布、カテゴリカル分布、ポアソン分布、幾何分布、逆ガウス分布、フォン・ミーゼス分布、フォンミーゼス-フィッシャー分布はすべて指数型分布族に属する。

正規分布：未知の平均、既知の分散

未知の平均値 $\mu$ と既知の分散 $\sigma ^{2}$ による正規分布を考える。確率密度関数は

f_{\sigma }(x;\mu )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).

これは、次のように設定することで、単一パラメーターの指数型分布族であることが分かる。

{\begin{aligned}h_{\sigma }(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\[4pt]T_{\sigma }(x)&={\frac {x}{\sigma }}\\[4pt]A_{\sigma }(\mu )&={\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\\[4pt]\eta _{\sigma }(\mu )&={\frac {\mu }{\sigma }}.\end{aligned}}

$\sigma ^{2}=1$ 、すなわち $\eta _{\sigma }(\mu )=\mu$ の場合、これは正準型となる。

正規分布：未知の平均と分散

未知の平均 $\mu$ と未知の分散 $\sigma ^{2}$ を持つ正規分布の場合を考える。確率密度関数は

f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).

これは、次のように設定することで、指数型分布族であることが分かる。

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&=\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\right)^{\rm {T}}\\h(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\\T(x)&=\left(x,x^{2}\right)^{\rm {T}}\\A({\boldsymbol {\eta }})&={\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log |\sigma |=-{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}+{\frac {1}{2}}\log \left|{\frac {1}{2\eta _{2}}}\right|\end{aligned}}

二項分布：既知の試行回数

離散変数を対象とする指数型分布族の例として、試行回数 $n$ が既知の二項分布を考える。

この分布の確率質量関数は

f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x},\quad x\in \{0,1,2,\ldots ,n\}.

これは同等に次のように書くことができる。

f(x)={n \choose x}\exp \left(x\log \left({\frac {p}{1-p}}\right)+n\log(1-p)\right),\quad x\in \{0,1,2,\ldots ,n\}.

二項分布は指数型分布族であり、その自然パラメーター $\eta$ は

\eta =\log {\frac {p}{1-p}}.

となる。この $p$ の関数はロジットと呼ばれる。

分布表

次の表は、多くの一般的な分布を、正準型の指数型分布族として書き換える方法を示している[5]。

スカラー変数とスカラーパラメータの場合：

f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\,\exp {{\Big (}\eta (\theta )\,T(x)-A(\eta ){\Big )}}

スカラー変数とベクトルパラメータの場合：

f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }\,{\boldsymbol {T}}(x)-A({\boldsymbol {\eta }}){\Big )}}

f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\,g({\boldsymbol {\theta }})\,\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }\,{\boldsymbol {T}}(x){\Big )}}

ベクトル変数とベクトルパラメータの場合：

f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\,\exp {{\Big (}{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {\theta }})^{\intercal }\,{\boldsymbol {T}}({\boldsymbol {x}})-A({\boldsymbol {\eta }}){\Big )}}

確率分布	パラメータ ${\boldsymbol {\theta }}$	自然パラメータ ${\boldsymbol {\eta }}$	パラメータの逆写像	Base measure $h(x)$	十分統計量 $T(x)$	Log-partition $A({\boldsymbol {\eta }})$	Log-partition $A({\boldsymbol {\theta }})$
ベルヌーイ分布[注釈 1]	$p$	$\log {\frac {p}{1-p}}$	${\frac {1}{1+e^{-\eta }}}={\frac {e^{\eta }}{1+e^{\eta }}}$	$1$	$x$	$\log(1+e^{\eta })$	$-\log(1-p)$
二項分布既知の試行回数 $n$	$p$	$\log {\frac {p}{1-p}}$	${\frac {1}{1+e^{-\eta }}}={\frac {e^{\eta }}{1+e^{\eta }}}$	${n \choose x}$	$x$	$n\log(1+e^{\eta })$	$-n\log(1-p)$
ポアソン分布	$\lambda$	$\log \lambda$	$e^{\eta }$	${\frac {1}{x!}}$	$x$	$e^{\eta }$	$\lambda$
負の二項分布 with known number of failures $r$	$p$	$\log p$	$e^{\eta }$	${x+r-1 \choose x}$	$x$	$-r\log(1-e^{\eta })$	$-r\log(1-p)$
指数分布	$\lambda$	$-\lambda$	$-\eta$	$1$	$x$	$-\log(-\eta )$	$-\log \lambda$
パレート分布 with known minimum value $x_{m}$	$\alpha$	$-\alpha -1$	$-1-\eta$	$1$	$\log x$	$-\log(-1-\eta )+(1+\eta )\log x_{\mathrm {m} }$	$-\log \alpha -\alpha \log x_{\mathrm {m} }$
ワイブル分布 with known shape $k$	$\lambda$	$-{\frac {1}{\lambda ^{k}}}$	$(-\eta )^{-{\frac {1}{k}}}$	$x^{k-1}$	$x^{k}$	$-\log(-\eta )-\log k$	$k\log \lambda -\log k$
ラプラス分布既知の平均 $\mu$	$b$	$-{\frac {1}{b}}$	$-{\frac {1}{\eta }}$	$1$	$\|x-\mu \|$	$\log \left(-{\frac {2}{\eta }}\right)$	$\log 2b$
カイ二乗分布	$\nu$	${\frac {\nu }{2}}-1$	$2(\eta +1)$	$e^{-{\frac {x}{2}}}$	$\log x$	$\log \Gamma (\eta +1)+(\eta +1)\log 2$	$\log \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)+{\frac {\nu }{2}}\log 2$
正規分布既知の分散 $\sigma ^{2}$	$\mu$	${\frac {\mu }{\sigma }}$	$\sigma \eta$	${\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}$	${\frac {x}{\sigma }}$	${\frac {\eta ^{2}}{2}}$	${\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}$
正規分布	$\mu$ , $\sigma ^{2}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {\mu }{\sigma ^{2}}}\\[10pt]-{\dfrac {1}{2\sigma ^{2}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-{\dfrac {\eta _{1}}{2\eta _{2}}}\\[15pt]-{\dfrac {1}{2\eta _{2}}}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	${\begin{bmatrix}x\\x^{2}\end{bmatrix}}$	$-{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}-{\frac {1}{2}}\log(-2\eta _{2})$	${\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log \sigma$
対数正規分布	$\mu$ , $\sigma ^{2}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {\mu }{\sigma ^{2}}}\\[10pt]-{\dfrac {1}{2\sigma ^{2}}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-{\dfrac {\eta _{1}}{2\eta _{2}}}\\[15pt]-{\dfrac {1}{2\eta _{2}}}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x}}$	${\begin{bmatrix}\log x\\(\log x)^{2}\end{bmatrix}}$	$-{\frac {\eta _{1}^{2}}{4\eta _{2}}}-{\frac {1}{2}}\log(-2\eta _{2})$	${\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}+\log \sigma$
逆ガウス分布	$\mu$ , $\lambda$	${\begin{bmatrix}-{\dfrac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\\[15pt]-{\dfrac {\lambda }{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\sqrt {\dfrac {\eta _{2}}{\eta _{1}}}}\\[15pt]-2\eta _{2}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}x^{\frac {3}{2}}}}$	${\begin{bmatrix}x\\[5pt]{\dfrac {1}{x}}\end{bmatrix}}$	$2{\sqrt {\eta _{1}\eta _{2}}}-{\frac {1}{2}}\log(-2\eta _{2})$	$-{\frac {\lambda }{\mu }}-{\frac {1}{2}}\log \lambda$
ガンマ分布	$\alpha$ , $\beta$	${\begin{bmatrix}\alpha -1\\-\beta \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\-\eta _{2}\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x\\x\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma (\eta _{1}+1)-(\eta _{1}+1)\log(-\eta _{2})$	$\log \Gamma (\alpha )-\alpha \log \beta$
ガンマ分布	$k$ , $\theta$	${\begin{bmatrix}k-1\\[5pt]-{\dfrac {1}{\theta }}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\[5pt]-{\dfrac {1}{\eta _{2}}}\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x\\x\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma (\eta _{1}+1)-(\eta _{1}+1)\log(-\eta _{2})$	$\log \Gamma (k)+k\log \theta$
逆ガンマ分布	$\alpha$ , $\beta$	${\begin{bmatrix}-\alpha -1\\-\beta \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-\eta _{1}-1\\-\eta _{2}\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x\\{\frac {1}{x}}\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma (-\eta _{1}-1)-(-\eta _{1}-1)\log(-\eta _{2})$	$\log \Gamma (\alpha )-\alpha \log \beta$
一般化逆ガウス分布	$p$ , $a$ , $b$	${\begin{bmatrix}p-1\\-a/2\\-b/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\-2\eta _{2}\\-2\eta _{3}\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x\\x\\{\frac {1}{x}}\end{bmatrix}}$	$\log 2K_{\eta _{1}+1}({\sqrt {4\eta _{2}\eta _{3}}})-{\frac {\eta _{1}+1}{2}}\log {\frac {\eta _{2}}{\eta _{3}}}$	$\log 2K_{p}({\sqrt {ab}})-{\frac {p}{2}}\log {\frac {a}{b}}$
スケールされた逆カイ二乗分布	$\nu$ , $\sigma ^{2}$	${\begin{bmatrix}-{\dfrac {\nu }{2}}-1\\[10pt]-{\dfrac {\nu \sigma ^{2}}{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-2(\eta _{1}+1)\\[10pt]{\dfrac {\eta _{2}}{\eta _{1}+1}}\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x\\{\frac {1}{x}}\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma (-\eta _{1}-1)-(-\eta _{1}-1)\log(-\eta _{2})$	$\log \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)-{\frac {\nu }{2}}\log {\frac {\nu \sigma ^{2}}{2}}$
ベータ分布（variant 1)	$\alpha$ , $\beta$	${\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}\\\eta _{2}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{x(1-x)}}$	${\begin{bmatrix}\log x\\\log(1-x)\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma (\eta _{1})+\log \Gamma (\eta _{2})-\log \Gamma (\eta _{1}+\eta _{2})$	$\log \Gamma (\alpha )+\log \Gamma (\beta )-\log \Gamma (\alpha +\beta )$
ベータ分布 (variant 2)	$\alpha$ , $\beta$	${\begin{bmatrix}\alpha -1\\\beta -1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\\eta _{2}+1\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x\\\log(1-x)\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma (\eta _{1}+1)+\log \Gamma (\eta _{2}+1)-\log \Gamma (\eta _{1}+\eta _{2}+2)$	$\log \Gamma (\alpha )+\log \Gamma (\beta )-\log \Gamma (\alpha +\beta )$
多変量正規分布	${\boldsymbol {\mu }}$ , ${\boldsymbol {\sigma }}$	${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}\\[5pt]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}_{2}^{-1}{\boldsymbol {\eta }}_{1}\\[5pt]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\eta }}_{2}^{-1}\end{bmatrix}}$	$(2\pi )^{-{\frac {k}{2}}}$	${\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\[5pt]\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}$	$-{\frac {1}{4}}{\boldsymbol {\eta }}_{1}^{\rm {T}}{\boldsymbol {\eta }}_{2}^{-1}{\boldsymbol {\eta }}_{1}-{\frac {1}{2}}\log \left\|-2{\boldsymbol {\eta }}_{2}\right\|$	${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\mu }}^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}{\boldsymbol {\mu }}+{\frac {1}{2}}\log \|{\boldsymbol {\Sigma }}\|$
カテゴリカル分布 (variant 1)[注釈 2]	$p_{1},\dots {},p_{k}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$	${\begin{bmatrix}\log p_{1}\\\vdots \\\log p_{k}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}=1$	$1$	${\begin{bmatrix}[x=1]\\\vdots \\{[x=k]}\end{bmatrix}}$	$0$	$0$
カテゴリカル分布 (variant 2)[注釈 2]	$p_{1},\dots {},p_{k}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$	${\begin{bmatrix}\log p_{1}+C\\\vdots \\\log p_{k}+C\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{C}}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\{\dfrac {1}{C}}e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}{\dfrac {e^{\eta _{1}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]{\dfrac {e^{\eta _{k}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\end{bmatrix}}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}=C$	$1$	${\begin{bmatrix}[x=1]\\\vdots \\{[x=k]}\end{bmatrix}}$	$0$	$0$
カテゴリカル分布 (variant 3)[注釈 2]	$p_{1},\dots {},p_{k}$ where $p_{k}=1-\textstyle \sum _{i=1}^{k-1}p_{i}$	${\begin{bmatrix}\log {\dfrac {p_{1}}{p_{k}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]\log {\dfrac {p_{k-1}}{p_{k}}}\\[15pt]0\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}\log {\dfrac {p_{1}}{1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]\log {\dfrac {p_{k-1}}{1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}}\\[15pt]0\end{bmatrix}}$ This is the inverse softmax function, a generalization of the logit function.	${\begin{bmatrix}{\dfrac {e^{\eta _{1}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]{\dfrac {e^{\eta _{k}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}{\dfrac {e^{\eta _{1}}}{1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]{\dfrac {e^{\eta _{k-1}}}{1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}}\\[15pt]{\dfrac {1}{1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}}\end{bmatrix}}$ This is the softmax function, a generalization of the logistic function.	$1$	${\begin{bmatrix}[x=1]\\\vdots \\{[x=k]}\end{bmatrix}}$	$\log \left(\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}\right)=\log \left(1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}\right)$	$-\log p_{k}=-\log \left(1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}\right)$
多項分布 (variant 1) 既知の試行回数 $n$	$p_{1},\dots {},p_{k}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$	${\begin{bmatrix}\log p_{1}\\\vdots \\\log p_{k}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}=1$	${\frac {n!}{\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}$	$0$	$0$
多項分布 (variant 2) 既知の試行回数 $n$	$p_{1},\dots {},p_{k}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1$	${\begin{bmatrix}\log p_{1}+C\\\vdots \\\log p_{k}+C\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{C}}e^{\eta _{1}}\\\vdots \\{\dfrac {1}{C}}e^{\eta _{k}}\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}{\dfrac {e^{\eta _{1}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]{\dfrac {e^{\eta _{k}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\end{bmatrix}}$ where $\textstyle \sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}=C$	${\frac {n!}{\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}$	$0$	$0$
多項分布 (variant 3) 既知の試行回数 $n$	$p_{1},\dots {},p_{k}$ where $p_{k}=1-\textstyle \sum _{i=1}^{k-1}p_{i}$	${\begin{bmatrix}\log {\dfrac {p_{1}}{p_{k}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]\log {\dfrac {p_{k-1}}{p_{k}}}\\[15pt]0\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}\log {\dfrac {p_{1}}{1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]\log {\dfrac {p_{k-1}}{1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}}}\\[15pt]0\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\dfrac {e^{\eta _{1}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]{\dfrac {e^{\eta _{k}}}{\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}}}\end{bmatrix}}=$ ${\begin{bmatrix}{\dfrac {e^{\eta _{1}}}{1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}}\\[10pt]\vdots \\[5pt]{\dfrac {e^{\eta _{k-1}}}{1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}}\\[15pt]{\dfrac {1}{1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}}}\end{bmatrix}}$	${\frac {n!}{\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\end{bmatrix}}$	$n\log \left(\sum _{i=1}^{k}e^{\eta _{i}}\right)=n\log \left(1+\sum _{i=1}^{k-1}e^{\eta _{i}}\right)$	$-n\log p_{k}=-n\log \left(1-\sum _{i=1}^{k-1}p_{i}\right)$
ディリクレ分布 (variant 1)	$\alpha _{1},\dots {},\alpha _{k}$	${\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{k}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}\\\vdots \\\eta _{k}\end{bmatrix}}$	${\frac {1}{\prod _{i=1}^{k}x_{i}}}$	${\begin{bmatrix}\log x_{1}\\\vdots \\\log x_{k}\end{bmatrix}}$	$\sum _{i=1}^{k}\log \Gamma (\eta _{i})-\log \Gamma \left(\sum _{i=1}^{k}\eta _{i}\right)$	$\sum _{i=1}^{k}\log \Gamma (\alpha _{i})-\log \Gamma \left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}\right)$
ディリクレ分布 (variant 2)	$\alpha _{1},\dots {},\alpha _{k}$	${\begin{bmatrix}\alpha _{1}-1\\\vdots \\\alpha _{k}-1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}+1\\\vdots \\\eta _{k}+1\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\log x_{1}\\\vdots \\\log x_{k}\end{bmatrix}}$	$\sum _{i=1}^{k}\log \Gamma (\eta _{i}+1)-\log \Gamma \left(\sum _{i=1}^{k}(\eta _{i}+1)\right)$	$\sum _{i=1}^{k}\log \Gamma (\alpha _{i})-\log \Gamma \left(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}\right)$
ウィッシャート分布[注釈 3]	$\mathbf {V}$ , $n$	${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}\mathbf {V} ^{-1}\\[5pt]{\dfrac {n-p-1}{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}{{\boldsymbol {\eta }}_{1}}^{-1}\\[5pt]2\eta _{2}+p+1\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\mathbf {X} \\\log \|\mathbf {X} \|\end{bmatrix}}$	$-\left(\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}\right)\log \|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\|$ $+\log \Gamma _{p}\left(\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}\right)=$ $-{\frac {n}{2}}\log \|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\|+\log \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)=$ $\left(\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}\right)(p\log 2+\log \|\mathbf {V} \|)$ $+\log \Gamma _{p}\left(\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}\right)$ Three variants with different parameterizations are given, to facilitate computing moments of the sufficient statistics.	${\frac {n}{2}}(p\log 2+\log \|\mathbf {V} \|)+\log \Gamma _{p}\left({\frac {n}{2}}\right)$
逆ウィッシャート分布	${\boldsymbol {\Psi }}$ , $m$	${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Psi }}\\[5pt]-{\dfrac {m+p+1}{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-2{\boldsymbol {\eta }}_{1}\\[5pt]-(2\eta _{2}+p+1)\end{bmatrix}}$	$1$	${\begin{bmatrix}\mathbf {X} ^{-1}\\\log \|\mathbf {X} \|\end{bmatrix}}$	${\begin{aligned}&\left(\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}\right)\log \|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\|+\log \Gamma _{p}\left(-{\Big (}\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}{\Big )}\right)\\&=-{\frac {m}{2}}\log \|-{\boldsymbol {\eta }}_{1}\|+\log \Gamma _{p}\left({\frac {m}{2}}\right)\\&=-\left(\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}\right)(p\log 2-\log \|{\boldsymbol {\Psi }}\|)+\log \Gamma _{p}\left(-{\Big (}\eta _{2}+{\frac {p+1}{2}}{\Big )}\right)\end{aligned}}$	${\frac {m}{2}}(p\log 2-\log \|{\boldsymbol {\Psi }}\|)+\log \Gamma _{p}\left({\frac {m}{2}}\right)$
ガウス・ガンマ分布	$\alpha$ , $\beta$ , $\mu$ , $\lambda$	${\begin{bmatrix}\alpha -{\frac {1}{2}}\\-\beta -{\dfrac {\lambda \mu ^{2}}{2}}\\\lambda \mu \\-{\dfrac {\lambda }{2}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\eta _{1}+{\frac {1}{2}}\\-\eta _{2}+{\dfrac {\eta _{3}^{2}}{4\eta _{4}}}\\-{\dfrac {\eta _{3}}{2\eta _{4}}}\\-2\eta _{4}\end{bmatrix}}$	${\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$	${\begin{bmatrix}\log \tau \\\tau \\\tau x\\\tau x^{2}\end{bmatrix}}$	$\log \Gamma \left(\eta _{1}+{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\log \left(-2\eta _{4}\right)-$ $-\left(\eta _{1}+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(-\eta _{2}+{\dfrac {\eta _{3}^{2}}{4\eta _{4}}}\right)$	$\log \Gamma \left(\alpha \right)-\alpha \log \beta -{\frac {1}{2}}\log \lambda$

統計における役割

指数型分布族は、一般化線形モデルで使用される分布関数の基礎を形成する。一般化線形モデルは、統計で一般的に使用される回帰モデルの多くを含む。

脚注

注釈

自然パラメータはロジット関数、パラメータの逆写像はロジスティック関数に相当する。
$[x=i]$ はアイバーソンの記法による（ $x=i$ ならば 1 そうでなければ 0）
${\rm {tr}}(\mathbf {A} ^{\rm {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )\cdot \operatorname {vec} (\mathbf {B} )$ を用いた。行列パラメータは指数形式に代入する際にベクトル化されているとものとする。また、V と X は対称行列であり、 $\mathbf {V} ^{\top }=\mathbf {V}$ などとなる。

出典

Andersen, Erling (September 1970). “Sufficiency and Exponential Families for Discrete Sample Spaces”. Journal of the American Statistical Association (Journal of the American Statistical Association) 65 (331): 1248–1255. doi:10.2307/2284291. JSTOR 2284291. MR 268992.
Pitman, E.; Wishart, J. (1936). “Sufficient statistics and intrinsic accuracy”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 32 (4): 567–579. Bibcode: 1936PCPS...32..567P. doi:10.1017/S0305004100019307.
Darmois, G. (1935). “Sur les lois de probabilites a estimation exhaustive” (フランス語). C. R. Acad. Sci. Paris 200: 1265–1266.
Koopman, B. (1936). “On distribution admitting a sufficient statistic”. Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 39 (3): 399–409. doi:10.2307/1989758. JSTOR 1989758. MR 1501854.
Nielsen, Frank; Garcia, Vincent. "Statistical exponential families: A digest with flash cards". arXiv:0911.4863。

参考文献

Fahrmeir, Ludwig; Tutz, G. (1994). Multivariate Statistical Modelling based on Generalized Linear Models. Springer. pp. 18–22, 345–349. ISBN 0-387-94233-5
Keener, Robert W. (2006). Theoretical Statistics: Topics for a Core Course. Springer. pp. 27–28, 32–33. ISBN 978-0-387-93838-7
Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). p. sec. 1.5. ISBN 0-387-98502-6

外部リンク

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[6] 自然パラメータはロジット関数、パラメータの逆写像はロジスティック関数に相当する。

[iverson-7] $[x=i]$ はアイバーソンの記法による（ $x=i$ ならば 1 そうでなければ 0）

[8] ${\rm {tr}}(\mathbf {A} ^{\rm {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {vec} (\mathbf {A} )\cdot \operatorname {vec} (\mathbf {B} )$ を用いた。行列パラメータは指数形式に代入する際にベクトル化されているとものとする。また、V と X は対称行列であり、 $\mathbf {V} ^{\top }=\mathbf {V}$ などとなる。

[1] Andersen, Erling (September 1970). “Sufficiency and Exponential Families for Discrete Sample Spaces”. Journal of the American Statistical Association (Journal of the American Statistical Association) 65 (331): 1248–1255. doi:10.2307/2284291. JSTOR 2284291. MR 268992.

[2] Pitman, E.; Wishart, J. (1936). “Sufficient statistics and intrinsic accuracy”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 32 (4): 567–579. Bibcode: 1936PCPS...32..567P. doi:10.1017/S0305004100019307.

[3] Darmois, G. (1935). “Sur les lois de probabilites a estimation exhaustive” (フランス語). C. R. Acad. Sci. Paris 200: 1265–1266.

[4] Koopman, B. (1936). “On distribution admitting a sufficient statistic”. Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 39 (3): 399–409. doi:10.2307/1989758. JSTOR 1989758. MR 1501854.

[5] Nielsen, Frank; Garcia, Vincent. "Statistical exponential families: A digest with flash cards". arXiv:0911.4863。

指数型分布族

定義