微分積分学の基本定理

微分積分学の第一基本定理 ― 関数 ${\displaystyle f}$ が区間 ${\displaystyle I}$ 上で連続ならば、任意の定数 ${\displaystyle a\in I}$ および変数 ${\displaystyle x\in I}$ に対して、${\displaystyle f}$ の不定積分

${\displaystyle F\left(x\right):=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t}$

は ${\displaystyle x}$ に関して微分可能で、

${\displaystyle {\dfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}F\left(x\right)=f\left(x\right)}$

が成り立つ[1]。すなわち、${\displaystyle F}$ は ${\displaystyle f}$ の原始関数である。

微分積分学の第二基本定理 ― 区間 ${\displaystyle I}$ 上で微分可能な関数 ${\displaystyle F}$ について、その導関数 ${\displaystyle f={\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}}$ が積分可能であるとき、任意の ${\displaystyle a,\ b\in I}$ に対して

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

が成り立つ。

微分積分学の基本公式 ― 区間 ${\displaystyle I}$ 上で連続な関数 ${\displaystyle f}$ について、その原始関数の一つを ${\displaystyle F}$ として、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)}$

が成り立つ[4]。

ルベーグ積分可能な関数に対する第一定理の一般化 ― ${\displaystyle a,\ x\in I}$ とし、区間 ${\displaystyle I}$ 上でルベーグ積分可能であり、${\displaystyle x_{0}\in I}$ で連続な関数 ${\displaystyle f}$ について、その原始関数を

${\displaystyle F\left(x\right)=\int _{a}^{x}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t}$

とする。この ${\displaystyle F}$ は ${\displaystyle x_{0}}$ 上で微分可能であり、また ${\displaystyle \left.{\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}\left(x\right)\right|_{x=x_{0}}=f\left(x_{0}\right)}$ が成り立つ。

ルベーグ積分可能な関数に対する第二定理の一般化 ― 閉区間 ${\displaystyle \left[a,\ b\right]}$ 上の実関数 ${\displaystyle F}$ がすべての ${\displaystyle x\in \left[a,\ b\right]}$ において微分可能であり、${\displaystyle F}$ の導関数 ${\displaystyle f}$ が ${\displaystyle \left[a,\ b\right]}$ 上でルベーグ積分可能ならば、

${\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{a}^{b}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t}$[6]

が成り立つ。

ストークスの定理 ― ${\displaystyle M}$ を向き付けられた区分的に滑らかな ${\displaystyle n}$ 次元の多様体、${\displaystyle \omega }$ をコンパクトな台を持つ ${\displaystyle M}$ 上の ${\displaystyle n-1}$ 形式とする。 ${\displaystyle \partial M}$ が ${\displaystyle M}$ から誘導された向き付きの ${\displaystyle M}$ の境界なら、この多様体に対して定義される外微分を ${\displaystyle {\rm {d}}}$ で表せば、

${\displaystyle \int _{M}{\rm {d}}\omega =\int _{\partial M}\omega }$

が成り立つ。