ベルンシュタインの定理

数学ではよくあることだが、この定理は歴史的に込み入った事情を経て成立しており、歴史的経緯を正確に反映した名前を決めるのは難しい。伝統的によく用いられていた「シュレーダー＝ベルンシュタイン」は1898年に独立に公刊された2つの証明[1][2]の著者を反映している。一方、歴史的に最初（1895年）にこの定理の主張を初めて発表したカントールの名前が加えられたり、シュレーダーの証明には誤りが含まれていた[3]ためシュレーダーの名前は加えられなかったり、という事情がある。さらに、歴史的にこの定理を初めて証明したデデキントの名前は普通加えられていない。

時系列をまとめると次のようになる。

• 1887年 リヒャルト・デデキントがこの定理を証明する[4]が発表せず
• 1895年 ゲオルク・カントールの最初の集合論と超限数の論文[5]に基数の比較可能性の帰結としてこの定理の主張が述べられる
• 1896年 エルンスト・シュレーダーが証明を発表する[6]
• 1897年 カントールのセミナーに参加していた学生だったフェリックス・ベルンシュタインが証明を付ける
• 1897年 ベルンシュタインの訪問を受けた後でデデキントが独立に2つ目の証明を見つける
• 1898年 エミール・ボレルの著書[2]の中で（1897年にチューリッヒでカントールから教わった）ベルンシュタインの証明が述べられる

デデキントの2つの証明はどちらも、自身によるモノグラフ[7]中で示された、

${\displaystyle A\subset B\subset C,|A|=|C|\Rightarrow |A|=|B|=|C|}$

に相当する命題に基づくものだった。カントールはこの定理に相当する現象を1882年か83年ごろには集合論と超限数の研究の過程で（選択公理の仮定の下で、ということになるが）発見していたとされる。

集合 A と B との間に単射写像

${\displaystyle f\colon A\to B,\ g\colon B\to A}$

が与えられたとする。 集合族 ${\displaystyle \{C_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ を、次のように帰納的に定義する。

${\displaystyle C_{0}:=A\setminus g(B),}$

${\displaystyle C_{n+1}:=g(f(C_{n}))}$

これらの和集合を

${\displaystyle C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}}$

とすると、C の補集合は g の像に含まれる。ここで、g の単射性によって式

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{if }}x\in C\\g^{-1}(x)&{\text{if }}x\notin C\end{cases}}}$

は写像を定めているが、このh は全単射になっている。実際、x ∈ C_i, y ∈ Aで ${\displaystyle g^{-1}(y)=f(x)}$ が成り立つならば y ∈ C_{i + 1}となることから h の単射性が従う。一方、

${\displaystyle g^{-1}(A\setminus C)=g^{-1}(A)\setminus g^{-1}(C)}$

であり、g^-1(A) = B と

${\displaystyle \quad g^{-1}(C)=g^{-1}(C\setminus C_{0})=\cup _{i=1}^{\infty }g^{-1}(C_{i})=\cup _{i=1}^{\infty }g^{-1}(g(f(C_{i-1})))=\cup _{i=0}^{\infty }f(C_{i})=f(C)}$

から、${\displaystyle g^{-1}(A\setminus C)=B\setminus f(C)}$であるが、これは h が全射であることを示している。

ベルンシュタインの定理を用いて、 ${\displaystyle [0,\infty )}$ から ${\displaystyle (0,\infty )}$ への全単射を構成する。
関数 ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to (0,\infty )}$, ${\displaystyle g\colon (0,\infty )\to [0,\infty )}$ を ${\displaystyle f(x)=x+1}$, ${\displaystyle g(x)=x}$ と定めると、どちらも単射である。
このとき、${\displaystyle g\circ f(x)=x+1}$, ${\displaystyle (g\circ f)^{n}(x)=x+n}$ であるから、

${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}([0,\infty )\setminus g((0,\infty )))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}([0,\infty )\setminus (0,\infty ))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(g\circ f)^{n}(\{0\})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{n\}=\mathbb {N} }$

となる。
したがって、 ${\displaystyle g^{-1}(x)=x}$ に注意して、関数 ${\displaystyle h\colon [0,\infty )\to (0,\infty )}$ を

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}x+1&{\text{if }}x\in \mathbb {N} \\x&{\text{if }}x\notin \mathbb {N} \end{cases}}}$

と定めると、${\displaystyle h}$ は ${\displaystyle [0,\infty )}$ から ${\displaystyle (0,\infty )}$ への全単射になる。

• マーティン・アイグナー、ギュンター・ツィーグラー『天書の証明』蟹江幸博 訳（縮刷版）、丸善出版、2012年9月（原著2002年12月）。ISBN 978-4-621-06535-8。http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/9784621065358.html。 - 原タイトル：Proofs from The Book。
• Hinkis, Arie (2013), Proofs of the Cantor-Bernstein theorem. A mathematical excursion, Science Networks. Historical Studies, 45, Heidelberg: Birkhäuser/Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0224-6, ISBN 978-3-0348-0223-9, MR3026479, http://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-0224-6/page/1

• 可測空間のシュレーダー＝ベルンシュタインの定理
• 作用素環のシュレーダー＝ベルンシュタインの定理
• シュレーダー＝ベルンシュタインの性質
• マイヒルの同型定理

• 法則の辞典『ベルンシュタインの定理』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Schröder-Bernstein Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
• Cantor-Schroeder-Bernstein theorem in nLab

集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
カテゴリ