中心線 (幾何学)

内心 X₁ = 1 : 1 : 1 (またはI )の中心線は、反垂軸（Antiorthic axis）と呼ばれ、以下の式で表される。

$${\displaystyle x+y+z=0.}$$

• △ABCの内心の等角共役点は内心自身である。したがって、△ABCとその内心三角形（incentral triangle、内心のチェバ三角形）の配景の軸は反垂軸である。
• 反垂軸は△ABC と傍心三角形△I₁I₂I₃の配景の軸である[6]。
• △ABCの傍接円の△ABCの辺でない共通接線の成す三角形は外接線三角形と呼ばれる。 △ABCと外接線三角形(extangents triangle)の配景の軸は反垂軸である。

△ABCの重心X₂（またはG）の三線座標は以下の様に与えられる。

$${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$$

重心の中心線は以下の式で表される。

$${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.}$$

この直線はルモワーヌ軸、ルモワーヌ線（Lemoine axis, Lemoine line）と呼ばれる。

• X₂の等角共役点である類似重心X₆（またはK）の三線座標はa : b : cである。ルモワーヌ軸は類似重心の三線極線である。
• △ABCの頂点の外接円に対する接線の成す三角形を外接三角形△T_AT_BT_Cと言う。 △ABC と外接三角形の配景の軸はルモワーヌ軸である。

外心X₃（またはO）の三線座標は以下の様に与えられる。

$${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$$

外心の中心線は以下の式で表される。

$${\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.}$$

この直線を垂軸（Orthic axis）という[7]。

• 外心X₃の等角共役点は垂心X₄（またはH）の三線座標はsec A : sec B : sec Cである。垂心の三線極線は垂軸で、これはオイラー線と垂直に交わる[8]。△ABCと垂足三角形△H_AH_BH_Cの配景の軸は垂軸である。

垂心 X₄（またはH）の三線座標は以下の様に与えられる。

$${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$$

垂心の中心線は以下の式で表される。

$${\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}$$

• 外心の三線極線は垂心の中心線である。

九点円の中心X₅（またはN）の三線座標は以下の式で与えられる。

$${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).}$$

X₅の中心線は以下の式で表される。

$${\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.}$$

• X₅の等角共役点はコスニタ点X₅₄である。したがってコスニタ点の三線極線はX₅の中心線である[9][10]。

類似重心 X₆（または K）の三線座標は以下の式で与えられる。

$${\displaystyle a:b:c}$$

類似重心の中心線は以下の式で表される。

$${\displaystyle ax+by+cz=0.}$$

• この直線は△ABCの無限遠直線（line at infinity）と呼ばれる。
• 類似重心の等角共役点は重心である。したがって重心の三線極線は△ABCの無限遠線である。 △ABCとその中点三角形の配景の軸は無限遠線である。

△ABCのオイラー線とは重心、外心、垂心、九円点の中心などを通る直線である。オイラー線の三線座標は以下の式で与えられる。

$${\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.}$$

これはX₆₄₇の中心線である。

△ABCのナーゲル線（Nagel line）とは内心、重心、シュピーカー点、ナーゲル点などを通る直線である。ナーゲル線の三線座標は以下の式で与えられる。

$${\displaystyle xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.}$$

これはX₆₄₉の中心線である。

△ABCのブロカール軸（Brocard axis）とは外心と類似重心、ブロカール円の中心などを通る直線である。ブロカール軸の三線座標は以下の式で与えられる。

$${\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.}$$

これはX₅₂₃の中心線である。