連続一様分布

連続一様分布の確率密度関数は次の通りである。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x\leq b,\\[1ex]0&{\text{for }}x<a{\text{ or }}x>b,\end{cases}}}$

2つの境界 a と b での値は、f(x) dx の任意の区間での積分に影響を与えないし、x f(x) dx の積分にも影響を与えないため、通常あまり重視されない。したがって、0 とする場合もあるし、1/b − a とする場合もある。後者は最尤法による推定の場合によく見られる。フーリエ解析においては、f(a) や f(b) の値を 1/2(b − a) とすることもある。そうすると、この一様関数の積分変換の逆変換は元の関数自身に戻る。さもないと「ほとんど至るところで」等しい関数に戻る。すなわち、零集合以外で等しい関数になる。また、このような曖昧さのない符号関数の定義とも一貫する。

累積分布関数は次の通りである。

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\dfrac {x-a}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{cases}}}$

積率母関数は次の通りである。

${\displaystyle M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$

ここから積率 m_k を計算することができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&={\frac {a+b}{2}},\\m_{2}&={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\\m_{k}&={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\\\end{aligned}}}$

この分布に従う確率変数では、期待値は m₁ = a + b/2 となり、分散は ${\displaystyle m_{2}-{m_{1}}^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$ となる。

n ≥ 2 のとき、区間 [0, 1] 上の一様分布の n 番目のキュムラントは ${\displaystyle {\frac {b_{n}}{n}}}$ であり、ここで b_n は n 番目のベルヌーイ数である。

この分布は区間よりも複雑な集合に一般化することができる。S を正の有限測度のボレル集合としたとき、S 上の一様分布の確率密度関数は、S の範囲外ではゼロで S 上では 1/K という一定の値をとる。ここで K は S のルベーグ測度である。

X₁, …, X_n が U(0, 1) からの独立同分布 (i.i.d.) の標本とする。X_(k) がこの標本における k番目の順序統計量とする。すると、X_(k) の確率分布は k と n − k + 1 を母数とするベータ分布である。期待値は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={\frac {k}{n+1}}}$

このことは、Q-Qプロットを作成する際に便利である。 分散は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{(k)})={\frac {k(n-k+1)}{(n+1)^{2}(n+2)}}}$

一様分布する確率変数の任意の固定長の区間での確率は、その区間が分布の台に含まれる限りにおいて、その区間自体の位置とは独立である（ただし、区間の長さには依存する）。

これを示すため、X ≈ U(0, b) で [x, x + d] が [0, b] の部分区間であり、定数 d > 0 とすると、

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}}$

となり、x とは独立となる。この事実から「一様」分布と名付けられた。

シミュレーション実験には多くの有益な応用がある。多くのプログラミング言語には擬似乱数列を生成する機能があり、事実上それらは標準一様分布に従って分布している。

標準一様分布からの標本値 u があるとき、a + (b − a)u という値は上述の通り母数 a と b の一様分布に従った値となる。

一様分布は任意の分布からの標本化にも有効である。汎用的手法として逆関数法があり、対象とする確率変数の累積分布関数を使う。理論的研究では非常に便利な手法である。シミュレーションでこの手法を使う場合、対象とする変数のCDFを知っている必要があるため、閉形式のCDFが未知の場合について代替手法が生み出されてきた。例えば、棄却サンプリング法がある。

正規分布は、逆関数法が効果的でない重要な例である。しかしボックス-ミューラー変換という正確な手法があり、2つの独立で一様な確率変数を独立な正規分布の確率変数に変えるため、逆変換を使う。

区間 [0, N] 上の一様分布について、N が未知の場合、最大値のUMVU推定は次のようになる。

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m=m+{\frac {m}{k}}}$

ここで m は標本の最大値、k は標本の大きさ（数）であり、標本の順序は入れ替えない（ただし、連続分布ではこの限定はほとんど意味を持たない）。これは離散分布での推定と同じ理由で、maximum spacing estimation の非常に単純な例と見ることができる。このような問題を一般に German tank problem（ドイツ戦車問題）と呼び、第二次世界大戦中のドイツでの戦車生産数の最大値を推定するという問題に由来する。

分布の中点 a + b/2 は、一様分布の期待値であり中央値である。標本の平均値と標本の中央値は母集団の中点のバイアスのない推定値だが、どちらも標本の範囲中央（標本の最大値と最小値の平均）ほど効率的ではない。それが中点のUMVU推定である（また、最尤推定値である）。