指数分布

指数分布
	確率密度関数;
	累積分布関数;
母数
台
確率密度関数
累積分布関数
期待値
中央値
最頻値
分散
歪度
尖度
エントロピー
モーメント母関数
特性関数

指数分布（しすうぶんぷ、英: exponential distribution）とは、確率論および統計学における連続確率分布の一種である。これは例えばポアソン過程——事象が連続して独立に一定の発生率で起こる過程——に従う事象の時間間隔を記述する。

定義

指数分布は台 $(0, \infty)$ を持ち、母数 $λ > 0$ に対して確率密度関数が

f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}

で与えられる[1]。このとき、累積分布関数は

F(x;\lambda )=1-e^{-\lambda x}

となる[2]。

尺度母数 $θ = 1/ λ$ を用いると、確率密度関数の等価な定義は

f(x;\theta )={\frac {1}{\theta }}f(x/\theta ;1)={\frac {1}{\theta }}e^{-x/\theta }

として与えられる。

性質

期待値・分散

定義より、期待値 $E (x)$ および分散 $V (x)$ はそれぞれ以下のようになる[3]。

E(x)={\frac {1}{\lambda }}=\theta ,\ \ \ V(x)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}=\theta ^{2}

他の分布との関係

独立で同一の指数分布に従う確率変数の和はアーラン分布に従う。アーラン分布の形状母数を 1 とすると指数分布に自明に一致する。

また、自由度2のカイ二乗分布は $θ = 2$ の指数分布と一致する。ワイブル分布における係数 $m = 1$ とおいた特殊な場合でもある。

無記憶性

指数分布は、幾何分布と同様に無記憶性 (memoryless) と呼ばれる性質を持つ。これは、確率変数 $X$ が

\forall s,t>0,\ \ P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)

なる等式を満たすことをいう。すなわち、時刻 $s$ までに事象が生起しなかったという情報が与えられたとき、その事象がさらに $t$ 時間の間生起しない条件付き確率は、（時刻 $s$ まで事象が生起しなかったという情報が完全に忘れ去られ、改めてその時点から観測を始めて） $t$ 時間の間事象が生起しない確率に一致するという意味である。

上述した累積分布関数の定義より、指数分布に従う確率変数がこの性質を満たすことは容易に示される[4]。逆に、この性質を満たす連続確率分布が指数分布のみであることも証明されている[5]。

生成

逆関数法を用いて指数分布に従う確率変数を生成することができる。一様乱数 $U(0,1)$ で、 $x\sim \mathrm {Exp} (\lambda )$ は以下の式で得られる:

x=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U

脚注

Billingsley 2012, p. 275, (20.10).
Billingsley 2012, p. 275, (20.11).
難波明生. 指数分布 (PDF) (Report). 指数分布の平均と分散の導出
Billingsley 2012, p. 316, (23.2).
Billingsley 2012, pp. 200–201, 316.

参考文献

Billingsley, P. (2012). Probability and Measure (Anniversary ed.). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2

外部リンク

『指数分布の意味と具体例』 - 高校数学の美しい物語

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[FOOTNOTEBillingsley2012275(20.10)-1] Billingsley 2012, p. 275, (20.10).

[FOOTNOTEBillingsley2012275(20.11)-2] Billingsley 2012, p. 275, (20.11).

[mean_diviatuin-3] 難波明生. 指数分布 (PDF) (Report). 指数分布の平均と分散の導出

[FOOTNOTEBillingsley2012316(23.2)-4] Billingsley 2012, p. 316, (23.2).

[FOOTNOTEBillingsley2012200–201,_316-5] Billingsley 2012, pp. 200–201, 316.

確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項二項 categorical 超幾何ポワソン二項ラーデマッハ離散一様ジップジップ–マンデルブロー
離散単変量で無限台	ベータ負二項ボレルコンウェイ–マクスウェル–ポワソン離散位相型ドラポルト拡張負二項ガウス–クズミン幾何対数負の二項放物フラクタルポワソンスケラムユール–サイモンゼータ
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦 ARGUS バルディング–ニコルスベイツベータ beta rectangular アーウィン–ホールクマラスワミーロジット-正規非中心ベータ raised cosine reciprocal 三角 U-quadratic 一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニベンクタンダー第一種ベンクタンダー第二種第2種ベータ Burr カイ二乗カイ Dagum デービス指数-対数アーラン指数 F folded normal Flory–Schulz フレシェガンマ gamma/Gompertz 一般逆ガウス Gompertz half-logistic half-normal Hotelling's T-squared 超アーラン超指数 hypoexponential 逆カイ二乗 scaled inverse chi-squared 逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス対数ロジスティック対数正規ロマックス行列指数マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナーミッタク-レフラー仲上非心カイ二乗パレート位相型 poly-Weibull レイリー relativistic Breit–Wigner ライス shifted Gompertz 切断正規タイプ2ガンベルワイブル離散ワイブルウィルクスのラムダ
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪フィッシャーの z ガウスの q 一般正規一般化双曲型幾何安定ガンベルホルツマルク双曲線正割ジョンソンの S_U ランダウラプラス非対称ラプラスロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス歪正規スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベルトレイシー–ウィダム分散ガンマフォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレートマルチェンコ–パストゥール q-指数 q-ガウス q-ワイブル shifted log-logistic トゥーキーのラムダ
混連続-離散単変量	rectified Gaussian
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ多項ディリクレ多項負多項【連続】ディリクレ一般ディリクレ多変量正規多変量安定多変量 t 正規逆ガンマ正規ガンマ【行列値】逆行列ガンマ逆ウィッシャート行列正規行列 t 行列ガンマ正規逆ウィッシャート正規ウィッシャートウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規 wrapped コーシー wrapped 指数 wrapped 非対称ラプラス wrapped レヴィ【二変量 (球面)】ケント【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャービンガム
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周混合ポワソン楕円指数自然指数位置尺度最大エントロピー混合ピアソントウィーディ wrapped
サンプリング法	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリングジッグラト法マルサグリア法
一覧カテゴリ

指数分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$\lambda (=1/\theta )>0$
台	$[0,\infty )$
確率密度関数	$\lambda e^{-\lambda x}$
累積分布関数	$1-e^{-\lambda x}$
期待値	$1/\lambda$
中央値	$(\ln 2)/\lambda$
最頻値	$0$
分散	$1/\lambda ^{2}$
歪度	$2$
尖度	$6$
エントロピー	$1-\ln \lambda$
モーメント母関数	$(1-t/\lambda )^{-1}{\text{ for }}t<\lambda$
特性関数	$(1-i\,t/\lambda )^{-1}$