t分布

スチューデントのt分布
	確率密度関数;
	累積分布関数;
母数	自由度
台
確率密度関数
累積分布関数	; ここで、2F1 は超幾何関数
期待値	（ただし）
中央値
最頻値
分散	の場合、; の場合、（無限大）
歪度	（ただしの場合）
尖度	（ただしの場合）
エントロピー	：ディガンマ関数,; ：ベータ関数;
モーメント母関数	なし
特性関数	ただし、の場合。; はベッセル関数[1];

統計学および確率論において、t分布（ティーぶんぷ、またはスチューデントのt分布、英: Student's t-distribution）は、連続確率分布の一つであり、正規分布する母集団の平均と分散が未知で標本サイズが小さい場合に平均を推定する問題に利用される。また、2つの平均値の差の統計的有意性を検討するt検定で利用される。t分布は、一般化双曲型分布の特別なケースである。

t分布は1908年にウィリアム・シーリー・ゴセットにより発表された。当時の彼はビール醸造会社であるギネスに雇用されており、ギネスでは秘密保持のため従業員による科学論文の公表を禁止していたので、彼はこの問題を回避するため「スチューデント」というペンネームを使用して論文を発表した[2]。

その後、ロナルド・フィッシャーがこの論文の重要性を見抜きスチューデントのt分布と呼んだため、このように呼ばれるようになった。

導出

$X 1, \dots, X n$ を平均 $μ$ 、分散 $σ 2$ の正規分布に従う独立な確率変数とする。また標本平均を

{\overline {X}}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}

とし、不偏分散を

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}

とする。ここで次の変数

t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}

を考えると、これは

f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}

（ただし $ν = n - 1$ , $Γ$ はガンマ関数）という確率密度関数に従うことが、ゴセットによって示された。ここで $t$ の従う分布をt 分布（またはスチューデント分布）と呼ぶ。 $ν$ は自由度と呼ばれる。この分布は $ν$ によるが、元の正規分布の母標準偏差 $σ$ にはよらないという重要な性質を持っている。

この確率密度関数は、元の正規分布の母数である $μ$ および $σ$ が既知と仮定しているので、厳密には条件付確率密度関数 $f(t\mid \mu ,\sigma )$ と書くべきものである。 $μ$ および $σ$ を確率変数と考え、その確率密度関数を適当に仮定し(例えばテーブル状の一様分布関数)、ベイズの定理を適用することによって、標本平均 ${\overline {X}}$ および不偏標準偏差 $S$ が既知の場合の条件付確率密度関数 $f(t|{\overline {X}},S)$ を計算することができる(もう少し正確に言えば、まず条件付確率密度関数 $f({\overline {X}},S\mid \mu ,\sigma )$ を求め、これにベイズの定理を適用して $f(\mu ,\sigma \mid {\overline {X}},S)$ を求め、さらに $σ$ について積分して $f(t\mid {\overline {X}},S)$ を求める)。実はこの関数は $f(t\mid \mu ,\sigma )$ と全く同じ形をしている。つまり、

{\begin{aligned}f(t\mid {\overline {X}},S)&={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\\t&={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}

である。これが、t分布が母標準偏差 $σ$ にはよらないという性質の反映である。不偏標準偏差 $S$ は既知であるから、tの確率分布から母平均値 $μ$ の確率分布を求めることができ、これを用いて $μ$ の区間推定や、仮説検定を行うことができる。

t分布を用いた母集団の平均値 $μ$ の区間推定では、t=0について対称な区間で、その区間に亘る確率密度の積分値が95%となる区間（95%信頼区間）を考え、これに対応する $μ$ の区間を信頼区間 (CI) とする方法が広く用いられている（99%信頼区間を用いる場合も有る）。

t分布を用いた母集団の平均値 $μ$ の仮説検定では、tの値が予め定めたα水準の下での信頼区間（95%あるいは99%）に含まれるか否かを判定基準とし、含まれる場合は母集団の平均値が $μ$ であるという仮説（帰無仮説）は棄却されず、区間からはみ出す場合は仮説を棄却する。

累積分布関数

累積分布関数は、正則不完全ベータ関数を用いて以下のように表される。

\int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=I_{x}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {B\left(x;{\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}{B\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}

ただし、

x={\frac {t+{\sqrt {t^{2}+\nu }}}{2{\sqrt {t^{2}+\nu }}}}.

モーメント

t分布のモーメントは以下の式で表される。

$k$ が奇数の場合

E(t^{k})={\begin{cases}0,&\quad 0<k<\nu \\{\mbox{undefined}},&\quad 0<\nu \leq k\end{cases}}

$k$ が偶数の場合

E(t^{k})={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})\Gamma ({\frac {\nu -k}{2}})\nu ^{k/2}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}},&\quad 0<k<\nu \\\infty ,&\quad 0<\nu \leq k\end{cases}}

特別なケース

$ν$ の値により、簡単な形となる。

$ν = 1$ の場合

コーシー分布と一致する。

累積分布関数：

F(t)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(t).

確率密度関数：

f(t)={\frac {1}{\pi (1+t^{2})}}.

$ν = 2$ の場合

累積分布関数：

F(t)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {t}{\sqrt {2+t^{2}}}}\right].

確率密度関数：

f(t)={\frac {1}{\left(2+t^{2}\right)^{3/2}}}.

$ν \to \infty$ の場合

自由度 $ν$ が $\infty$ （無限大）に近づくにつれ、 $t$ 分布は正規分布に近づく。

出典

Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95
Walpole, Ronald; Myers, Raymond; Ye, Keying. Probability and Statistics for Engineers and Scientists. Pearson Education, 2002, 7th edition, pg. 237

参考文献

栗原伸一 (2011年7月25日). 入門統計学. オーム社. ISBN 978-4-274-06855-3

確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項二項 categorical 超幾何ポワソン二項ラーデマッハ離散一様ジップジップ–マンデルブロー
離散単変量で無限台	ベータ負二項ボレルコンウェイ–マクスウェル–ポワソン離散位相型ドラポルト拡張負二項ガウス–クズミン幾何対数負の二項放物フラクタルポワソンスケラムユール–サイモンゼータ
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦 ARGUS バルディング–ニコルスベイツベータ beta rectangular アーウィン–ホールクマラスワミーロジット-正規非中心ベータ raised cosine reciprocal 三角 U-quadratic 一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニベンクタンダー第一種ベンクタンダー第二種第2種ベータ Burr カイ二乗カイ Dagum デービス指数-対数アーラン指数 F folded normal Flory–Schulz フレシェガンマ gamma/Gompertz 一般逆ガウス Gompertz half-logistic half-normal Hotelling's T-squared 超アーラン超指数 hypoexponential 逆カイ二乗 scaled inverse chi-squared 逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス対数ロジスティック対数正規ロマックス行列指数マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナーミッタク-レフラー仲上非心カイ二乗パレート位相型 poly-Weibull レイリー relativistic Breit–Wigner ライス shifted Gompertz 切断正規タイプ2ガンベルワイブル離散ワイブルウィルクスのラムダ
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪フィッシャーの z ガウスの q 一般正規一般化双曲型幾何安定ガンベルホルツマルク双曲線正割ジョンソンの S_U ランダウラプラス非対称ラプラスロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス歪正規スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベルトレイシー–ウィダム分散ガンマフォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレートマルチェンコ–パストゥール q-指数 q-ガウス q-ワイブル shifted log-logistic トゥーキーのラムダ
混連続-離散単変量	rectified Gaussian
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ多項ディリクレ多項負多項【連続】ディリクレ一般ディリクレ多変量正規多変量安定多変量 t 正規逆ガンマ正規ガンマ【行列値】逆行列ガンマ逆ウィッシャート行列正規行列 t 行列ガンマ正規逆ウィッシャート正規ウィッシャートウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規 wrapped コーシー wrapped 指数 wrapped 非対称ラプラス wrapped レヴィ【二変量 (球面)】ケント【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャービンガム
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周混合ポワソン楕円指数自然指数位置尺度最大エントロピー混合ピアソントウィーディ wrapped
サンプリング法	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリングジッグラト法マルサグリア法
一覧カテゴリ

スチューデントのt分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$\nu >0$ 自由度
台	$(-\infty ,+\infty )$
確率密度関数	${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}$
累積分布関数	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+t\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {{}_{2}\!F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}$ ここで、 $2 F 1$ は超幾何関数
期待値	$0$ （ただし $\nu >1$ ）
中央値	$0$
最頻値	$0$
分散	$\nu >2$ の場合、 ${\frac {\nu }{\nu -2}}$ $1<\nu \leq 2$ の場合、 $\infty$ （無限大）
歪度	$0$ （ただし $\nu >3$ の場合）
尖度	${\frac {6}{\nu -4}}$ （ただし $\nu >4$ の場合）
エントロピー	${\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log \left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]\end{matrix}}$ $\psi$ ：ディガンマ関数, $B$ ：ベータ関数
モーメント母関数	なし
特性関数	${\frac {K_{\nu /2}({\sqrt {\nu }}\|t\|)({\sqrt {\nu }}\|t\|)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ ただし、 $\nu >0$ の場合。 $K_{\nu }(x)$ はベッセル関数[1]

t分布

導出

累積分布関数

モーメント

特別なケース

ν = 1 の場合

ν = 2 の場合

ν → ∞ の場合

出典

参考文献

関連項目

$ν = 1$ の場合

$ν = 2$ の場合

$ν \to \infty$ の場合