逆ガンマ分布

逆ガンマ関数の確率密度関数は形状母数 ${\displaystyle \alpha >0}$、尺度母数 ${\displaystyle \beta >0}$で、台 ${\displaystyle (0,\infty )}$ の上で

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}$

と定義される[1]。ここで ${\displaystyle \Gamma }$ はガンマ関数である。尺度母数について

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta$ ;\alpha ,1)}

である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}$

ここで分子の ${\displaystyle \Gamma }$ は不完全ガンマ関数である。

• ${\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/2)}$ は ${\displaystyle {\mathsf {InvChi2}}(2\alpha )}$（逆カイ二乗分布）
• ${\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(1/2,\beta )}$ は ${\displaystyle {\mathsf {Levy}}(0,2\beta )}$（レヴィ分布）
• ${\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\theta )}$（ガンマ分布、${\displaystyle \theta }$ はガンマ分布にとっての尺度母数）ならば ${\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\theta )}$
• 注意：${\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\beta )}$（ガンマ分布、${\displaystyle \beta }$ はガンマ分布にとってのrate parameter）ならば ${\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,\beta )}$
• ${\displaystyle X\sim {\mathsf {InvGamma}}(1,\beta )}$ ならば ${\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )}$（指数分布）

• Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
• Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR1825758. Zbl 1263.62022.

• ガンマ分布