ベータ分布

第1種ベータ分布
	確率密度関数;
	累積分布関数;
母数	形状母数 (実数); 形状母数 (実数)
台
確率密度関数	; （B はベータ関数）
累積分布関数	; は正則化された不完全ベータ関数
期待値	; ; （ψはディガンマ関数）
中央値
最頻値	for
分散	; ; （ψ1 はトリガンマ関数）
歪度
尖度
エントロピー
モーメント母関数
特性関数	（Confluent hypergeometric functionを参照）

ベータ分布（ベータぶんぷ、英: beta distribution）は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。

第1種ベータ分布

第1種ベータ分布（英: beta distribution of the first kind）の確率密度関数は以下で定義される。

f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}

ここで $B(α, β)$ はベータ関数であり、確率変数の取る値は $0 \leq x \leq 1$ 、パラメータ $α, β$ はともに正の実数である。期待値は $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}α/α + β$ 、分散は ${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ である。自然パラメータを $η = (α - 1, β - 1)$ として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。

f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))

ただし $h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))$ である。

累積分布関数

累積分布関数は、以下の式で与えられる。

F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )

ここで、 $\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt$ は、不完全ベータ関数であり、 $I_{x}(\alpha ,\beta )$ は、正則化不完全ベータ関数である。

他の分布との関係

$\alpha =\beta =1/2$ のとき逆正弦分布になる。
$\alpha =\beta =1$ のとき一様分布になる。

第2種ベータ分布

詳細は「第2種ベータ分布」を参照

一般化ベータ分布

a, b, c, p, q が実数パラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正の時、下記の確率密度関数を一般化ベータ分布（英: generalized beta distribution）という。

GB(x;a,b,c,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(1-c)(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(x/b)^{a})^{p+q}}}\quad \quad {\text{  for }}0<x^{a}<{\frac {b^{a}}{1-c}},

一般化第1種ベータ分布

c = 0 の時、一般化第1種ベータ分布（英: generalized beta of first kind）という。

GB1(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=0,p,q).

GB1(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}

一般化第2種ベータ分布

c = 1 の時、一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta of second kind）という。台は $x\in (0,\infty )\!$ 。

GB2(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=1,p,q).

GB2(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(x/b)^{a})^{p+q}}}

参考文献

蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

外部リンク

GSL reference manual Japanese version

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確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項二項 categorical 超幾何ポワソン二項ラーデマッハ離散一様ジップジップ–マンデルブロー
離散単変量で無限台	ベータ負二項ボレルコンウェイ–マクスウェル–ポワソン離散位相型ドラポルト拡張負二項ガウス–クズミン幾何対数負の二項放物フラクタルポワソンスケラムユール–サイモンゼータ
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦 ARGUS バルディング–ニコルスベイツベータ beta rectangular アーウィン–ホールクマラスワミーロジット-正規非中心ベータ raised cosine reciprocal 三角 U-quadratic 一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニベンクタンダー第一種ベンクタンダー第二種第2種ベータ Burr カイ二乗カイ Dagum デービス指数-対数アーラン指数 F folded normal Flory–Schulz フレシェガンマ gamma/Gompertz 一般逆ガウス Gompertz half-logistic half-normal Hotelling's T-squared 超アーラン超指数 hypoexponential 逆カイ二乗 scaled inverse chi-squared 逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス対数ロジスティック対数正規ロマックス行列指数マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナーミッタク-レフラー仲上非心カイ二乗パレート位相型 poly-Weibull レイリー relativistic Breit–Wigner ライス shifted Gompertz 切断正規タイプ2ガンベルワイブル離散ワイブルウィルクスのラムダ
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪フィッシャーの z ガウスの q 一般正規一般化双曲型幾何安定ガンベルホルツマルク双曲線正割ジョンソンの S_U ランダウラプラス非対称ラプラスロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス歪正規スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベルトレイシー–ウィダム分散ガンマフォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレートマルチェンコ–パストゥール q-指数 q-ガウス q-ワイブル shifted log-logistic トゥーキーのラムダ
混連続-離散単変量	rectified Gaussian
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ多項ディリクレ多項負多項【連続】ディリクレ一般ディリクレ多変量正規多変量安定多変量 t 正規逆ガンマ正規ガンマ【行列値】逆行列ガンマ逆ウィッシャート行列正規行列 t 行列ガンマ正規逆ウィッシャート正規ウィッシャートウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規 wrapped コーシー wrapped 指数 wrapped 非対称ラプラス wrapped レヴィ【二変量 (球面)】ケント【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャービンガム
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周混合ポワソン楕円指数自然指数位置尺度最大エントロピー混合ピアソントウィーディ wrapped
サンプリング法	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリングジッグラト法マルサグリア法
一覧カテゴリ

第1種ベータ分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$\alpha >0$ 形状母数 (実数) $\beta >0$ 形状母数 (実数)
台	$[0,1]$
確率密度関数	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}$ （ $B$ はベータ関数）
累積分布関数	$I_{x}(\alpha ,\beta )$ $I_{x}(\alpha ,\beta )$ は正則化された不完全ベータ関数
期待値	$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ $\operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$ （ψはディガンマ関数）
中央値	${\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}$
最頻値	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ for $\alpha ,\beta >1$
分散	$\operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ $\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$ （ $ψ 1$ はトリガンマ関数）
歪度	${\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
尖度	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
エントロピー	${\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$
モーメント母関数	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
特性関数	${\displaystyle {}_{1}\!F_{1}(\alpha$ （Confluent hypergeometric functionを参照）