カントール分布

カントール分布の台はカントール集合、つまり（可算個の）集合

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}=&[0,1]\\C_{1}=&[0,{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},1]\\C_{2}=&[0,{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]\cup [{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},1]\\C_{3}=&[0,{\tfrac {1}{27}}]\cup [{\tfrac {2}{27}},{\tfrac {1}{9}}]\cup [{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {7}{27}}]\cup [{\tfrac {8}{27}},{\tfrac {1}{3}}]\cup \\&[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {19}{27}}]\cup [{\tfrac {20}{27}},{\tfrac {7}{9}}]\cup [{\tfrac {8}{9}},{\tfrac {25}{27}}]\cup [{\tfrac {26}{27}},1]\\C_{4}=&\cdots \end{aligned}}}$

の共通部分である。

カントール分布は、任意の C_t (t ∈ {0, 1, 2, 3, …}) に対して、カントール分布の確率変数を含む C_t 内のある特定の区間が、その 2^t 個の各区間の上で恒等的に 2^−t であるような唯一つの確率分布である。

対称性により、この分布を持つ確率変数 X に対して、その期待値は E(X) = 1/2 となり、すべての X の奇中心モーメントは 0 であることが簡単に分かる。

分散 var(X) を求める上で、全分散の法則を次のように用いることができる。上述の集合 C₁ に対して、X ∈ [0, 1/3] であれば Y = 0 とし、X ∈ [2/3, 1] であれば Y = 1 とする。このとき、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}.\end{aligned}}}$

が得られる。これより

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}}$

が得られる。任意の偶中心モーメントに対する閉形式表現は、初めに偶キュムラント

${\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!}$

を得、続いてそのキュムラントの関数としてモーメントを表現することで得られる。ここで B_2n は 2n 番目のベルヌーイ数である。

• Morrison, Kent (1998年7月23日). “Random Walks with Decreasing Steps” (PDF). Department of Mathematics, California Polytechnic State University. 2007年2月16日閲覧。