ガンベル分布

${\displaystyle \mu =0}$ かつ η ＝1のとき

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{(-x)}}\,}$

・モード（最頻値）　：${\displaystyle \mu }$

・メジアン（中央値）： ${\displaystyle \mu -\eta \ln \left(\ln 2\right),}$

ガンベル分布の確率変数を X とするとき、平均 E(X) および分散 V(X) は次のように表される。

${\displaystyle E(X)=\mu +\gamma \eta ,}$

${\displaystyle V(X)={\frac {\pi ^{2}\eta ^{2}}{6}}.}$

ここで γ = 0.577… はオイラーの定数である。

ガンベル分布の確率変数を X とするとき、モーメント母関数 M_X(t) は

${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\mu t}\Gamma (1-\eta t)\quad {\biggl (}t<{\frac {1}{\eta }}{\biggr )}}$

で与えられる。ここで Γ(x) はガンマ関数を表す。

また、特性関数 φ_X(t) は

${\displaystyle \phi _{X}(t)=M_{X}(it)=e^{i\mu t}\Gamma (1-i\eta t)}$

で与えられる。

ガンベル分布の確率変数を X とするとき、キュムラント母関数 K_X(t) は

${\displaystyle K_{X}(t)=\log M_{X}(t)=\mu t+\log \Gamma (1-\eta t)\quad {\biggl (}t<{\frac {1}{\eta }}{\biggr )}}$

で与えられる。 このとき、n 次のキュムラント κ_n は

${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}K_{X}(t){\biggr \vert }_{t=0}={\begin{cases}\mu +\gamma \eta &\,(n=1)\\\eta ^{k}(n-1)!\zeta (n)&\,(n\geq 2)\end{cases}}}$

となる。ここで ζ(n) はゼータ関数である。