三角分布

確率論および統計学において、三角分布（さんかくぶんぷ、英: triangular distribution）とは、区間 [a, b] において次の確率密度関数を持った連続確率分布である。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\cfrac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {for\ } a\leq x<c,\\{\cfrac {2}{b-a}}&\mathrm {for\ } x=c,\\{\cfrac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {for\ } c<x\leq b.\end{cases}}}$

三角分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle a\in (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle b\in (a,\infty )}$ ${\displaystyle c\in [a,b]}$
台	${\displaystyle [a,b]}$
確率密度関数	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}}$
期待値	${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}}$
中央値	${\displaystyle {\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}}$
最頻値	${\displaystyle c}$
分散	${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}}$
尖度	${\displaystyle -{\frac {3}{5}}}$
エントロピー	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)}$
モーメント母関数	${\displaystyle 2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$
特性関数	${\displaystyle -2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}}$

ここで、パラメータ a は最小値、b は最大値、c は最頻値である。

三角分布の分布関数は

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\cfrac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&\mathrm {for\ } a\leq x\leq c,\\1-{\cfrac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&\mathrm {for\ } c<x\leq b.\end{cases}}}$

三角分布の平均 E(X) および分散 V(X) は、

${\displaystyle E(X)={\frac {a+b+c}{3}}}$

${\displaystyle V(X)={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}}$