七十八角形

正七十八角形においては、中心角と外角は4.615…°で、内角は175.384…°となる。一辺の長さが a の正七十八角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {78}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{78}}\simeq 483.88751a^{2}}$

関係式

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{78}}+2\cos {\frac {46\pi }{78}}+2\cos {\frac {34\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{1}\\2\cos {\frac {22\pi }{78}}+2\cos {\frac {38\pi }{78}}+2\cos {\frac {62\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {13}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{2}\\2\cos {\frac {70\pi }{78}}+2\cos {\frac {50\pi }{78}}+2\cos {\frac {58\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1-{\sqrt {13}}-{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{3}\\2\cos {\frac {10\pi }{78}}+2\cos {\frac {74\pi }{78}}+2\cos {\frac {14\pi }{78}}={\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)=x_{4}\\\end{aligned}}}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

両辺の立方根を取ると

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{78}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {46\pi }{78}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{78}}=&{\sqrt[{3}]{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}-3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{78}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{78}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {34\pi }{78}}=&{\sqrt[{3}]{\tfrac {-104+34{\sqrt {13}}-3{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}+15{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}+3{\sqrt {3}}\left(2{\sqrt {13}}+{\sqrt {6\left(13+3{\sqrt {13}}\right)}}-{\sqrt {6\left(13-3{\sqrt {13}}\right)}}\right)i}{8}}}\\\end{aligned}}}$

よって

• 十三角形
• 二十六角形
• 三十九角形
• 五十二角形