十九角形

正十九角形においては、中心角と外角は18.947…°で、内角は161.052…°となる。一辺の長さが a の正十九角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {19}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}\simeq 28.4652a^{2}}$

で、外接円の半径 R は

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\simeq 3.037767a}$

で与えられる。

${\displaystyle \cos(2\pi /19)}$を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を2回解く必要である。 以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す[1]。

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\alpha \\2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}=&{\frac {-1+{\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\beta \\2\cos {\frac {8\pi }{19}}+2\cos {\frac {18\pi }{19}}+2\cos {\frac {12\pi }{19}}=&{\frac {-1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}=\gamma \\\end{aligned}}}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)\\\end{aligned}}}$

両辺の立方根を取ると

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}=&{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}}$

よって

${\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{19}}=&\alpha +{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)}}+{\sqrt[{3}]{3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)}}\\\end{aligned}}}$

整理すると

• ピアポント素数

• Weisstein, Eric W. "Enneadecagon". mathworld.wolfram.com (英語).
• 正十九角形の作図