二百四十角形

正二百四十角形においては、中心角と外角は1.5°で、内角は178.5°となる。一辺の長さが a の正二百四十角形の面積 S は

${\displaystyle S=60a^{2}\cot {\frac {\pi }{240}}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /240)}$は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{240}}=\cos {\frac {\pi }{120}}=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}}$

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