九十角形

正九十角形においては、中心角と外角は4°で、内角は176°となる。一辺の長さが a の正九十角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {90}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{90}}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /90)}$を平方根と立方根で表すと、

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{90}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}+i\sin {12^{\circ }}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {12^{\circ }}-i\sin {12^{\circ }}}}\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\Bigg \{}{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]+i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}}$

${\displaystyle +{\sqrt[{3}]{\left[{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right]-i\left[{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)\right]}}{\Bigg \}}}$

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