三十八角形

正三十八角形においては、中心角と外角は9.473…°で、内角は170.526…°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {38}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{38}}\simeq 114.64795a^{2}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /38)}$を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。

以下ように ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ をおくと

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{38}}+2\cos {\frac {22\pi }{38}}+2\cos {\frac {14\pi }{38}}={\frac {1+{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {6\pi }{38}}+2\cos {\frac {10\pi }{38}}+2\cos {\frac {34\pi }{38}}={\frac {1+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {18\pi }{38}}+2\cos {\frac {30\pi }{38}}+2\cos {\frac {26\pi }{38}}={\frac {1+\omega {\sqrt[{3}]{\frac {-133+57{\sqrt {3}}i}{2}}}+\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{\frac {-133-57{\sqrt {3}}i}{2}}}}{3}}\\\end{aligned}}}$

以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-6x+7=0}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned}}}$

両辺の立方根を取ると

${\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}\\2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}=&{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}}$

よって

${\displaystyle {\begin{aligned}6\cos {\frac {2\pi }{38}}=&x_{1}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)}}+{\sqrt[{3}]{3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)}}\\\end{aligned}}}$

整理すると

• 十九角形