五十四角形

正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {27}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{54}}a^{2}}$

関係式

以下のようにα、β、γを定義すると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{54}}\\&\gamma =2\cos {\frac {50\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{54}}\\\end{aligned}}}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma =0\\&\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3\\&\alpha \beta \gamma =1\\\end{aligned}}}$

三次方程式は

${\displaystyle x^{3}-3x-1=0}$

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

${\displaystyle \alpha =2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1}{2}}\right)={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}={\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-\omega }}}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}=0\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{54}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}=\alpha \\\end{aligned}}}$

三次方程式は

${\displaystyle u^{3}-3u-\alpha =0}$

三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると

${\displaystyle u_{1}=2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}$

よって

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{54}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}{2}}}$

• 九角形
• 十八角形
• 二十七角形