百八十角形

正百八十角形においては、中心角と外角は2°で、内角は178°となる。一辺の長さが a の正百八十角形の面積 S は

${\displaystyle S=45a^{2}\cot {\frac {\pi }{180}}}$

関係式

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {26\pi }{180}}+2\cos {\frac {146\pi }{180}}+2\cos {\frac {94\pi }{180}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {14\pi }{180}}+2\cos {\frac {134\pi }{180}}+2\cos {\frac {106\pi }{180}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {178\pi }{180}}+2\cos {\frac {58\pi }{180}}+2\cos {\frac {62\pi }{180}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {98\pi }{180}}+2\cos {\frac {142\pi }{180}}+2\cos {\frac {22\pi }{180}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {166\pi }{180}}+2\cos {\frac {46\pi }{180}}+2\cos {\frac {74\pi }{180}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {34\pi }{180}}+2\cos {\frac {86\pi }{180}}+2\cos {\frac {154\pi }{180}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {82\pi }{180}}+2\cos {\frac {38\pi }{180}}+2\cos {\frac {158\pi }{180}}=0\\\end{aligned}}}$

三次方程式の係数を求めると

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{180}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}=2\cos {\frac {2\pi }{60}}\\\end{aligned}}}$

解と係数の関係より

${\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{60}}=0}$

三次方程式を解くと

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}+i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}-i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}+i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}-i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos(2\pi /180)}$を平方根と立方根で表すと

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{180}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}}$

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