十三角形

正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

${\displaystyle S={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}}$

となる。

${\displaystyle \cos(2\pi /13)}$を平方根と立方根で表すと[1]、

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {-1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}}}{2}}}=0.8854560...}$

Trigonometric constants expressed in real radicalsより

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {{\sqrt {13}}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12i{\sqrt {39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12i{\sqrt {39}}}}}{12}}}$

また、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}}i}}\omega +{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}}i}}\omega ^{2}}{6}}={\frac {1}{3}}\left(-1+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega +{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega ^{2}\right)}$

${\displaystyle 2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}}i}}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}}i}}}{6}}={\frac {1}{3}}\left(-1+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\right)}$

${\displaystyle 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}={\frac {-2+{\sqrt[{3}]{-260-156{\sqrt {3}}i}}\omega ^{2}+{\sqrt[{3}]{-260+156{\sqrt {3}}i}}\omega }{6}}={\frac {1}{3}}\left(-1+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5-3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega ^{2}+{\sqrt {13}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {-5+3{\sqrt {3}}i}{2{\sqrt {13}}}}}\omega \right)}$

チェコの20コルナ硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。

20コルナ硬貨

• Weisstein, Eric W. "Tridecagon". mathworld.wolfram.com (英語).